¿Es positivo el haz anticanónico de una variedad compacta de Kähler?

Question

Estoy trabajando en la demostración del teorema de incrustación de Kodaira y en una parte de esta demostración tienes " $K_{X}+L^{\otimes k}$ es positivo". Dado que forma parte de los requisitos, está claro que $L$ es positivo. Pero, en general, ¿es cierta la siguiente afirmación?

Dejemos que $X$ sea una variedad compacta de Kähler. Entonces el haz anticanónico $K_{X}$ (o $K_{X}^{*}$ ) es positivo.

Answer 1

Un haz de líneas holomórfico $L$ en una variedad compleja compacta $X$ es positivo si $c_1(L) \in H^2(X; \mathbb{Z})$ puede ser representado por un positivo cerrado $(1, 1)$ -forma. De ello se desprende que $X$ admite una métrica de Kähler con forma de Kähler $\omega$ tal que $c_1(L) = [\omega]$ . En particular, si su afirmación fuera cierta, una variedad compleja compacta sería Kähler si y sólo si tuviera un haz anticanónico positivo - como veremos, esto está lejos de ser cierto.

En una superficie compacta de Riemann $X$ un haz de líneas holomórfico $L$ tiene un grado: si $c_1(L) = [\alpha]$ entonces

$$\deg L = \langle c_1(L), [X]\rangle = \int_X\alpha.$$

En particular, si $L$ es positivo, $c_1(L) = [\omega]$ así que

$$\deg L = \int_X\omega > 0.$$

En una superficie de Riemann, $K_X^* = TX$ así que

$$\deg K_X^* = \deg TX = \langle c_1(TX), [X]\rangle = \langle e(TX), [X]\rangle = \chi(X)$$

donde $e(TX)$ denota la clase Euler de $TX$ . Vemos que si $X$ es una superficie de Riemann compacta con haz anticanónico positivo,

$$\chi(X) > 0.$$

Como $\chi(X) = 2 - 2g$ donde $g$ es el género de $X$ la única superficie compacta de Riemann con haz anticanónico positivo es $\mathbb{CP}^1$ .

Una variedad compleja compacta con haz anticanónico positivo se denomina Fano . Por el teorema de la incrustación de Kodaira, dicha variedad es proyectiva, por lo que cualquier variedad compacta de Kähler, no proyectiva, también proporcionará un contraejemplo a su afirmación. Además, si $K_X^*$ es positivo, $K_X$ es negativo por lo que $X$ tiene la dimensión de Kodaira $-\infty$ . Esto proporciona otra clase de contraejemplos: Las variedades de Kähler con dimensión de Kodaira no negativa.

Answer 2

Sólo para complementar la bonita respuesta de Michael Albanese: hay que pensar en el haz anticanónico positivo como algo inusual. Tipo general tienen una dimensión de Kodaira máxima (en particular, positiva), por lo que son sus haces canónicos los que tienden a ser positivos, en lugar de sus haces anticanónicos. (Literalmente, una variedad es de tipo general si su haz canónico es gran que es más débil que ser positivo/muestra, pero es una suposición en una dirección similar. Gracias a Michael Albanese por corregir una afirmación incorrecta anterior aquí).

Como su nombre indica, debe imaginarse que una variedad típica, o general, es de tipo general.