Mostrando límite de secuencia $\left(\frac{3}{10}, \frac{33}{100}, \frac{333}{1000}, \dots\right)$

Question

Estoy tratando de calcular el límite de la siguiente secuencia:

$$ (s_n) = \left(\frac{3}{10}, \frac{33}{100}, \frac{333}{1000}, \dots\right). $$

Claramente, $(s_n) \to 1/3$, pero no estoy seguro de cómo mostrar rigurosamente. Tengo que ser capaz de generar este a los casos en que $3$ es cualquier entero $a \in \{ 1, 2, \dots, 9 \}$. Me doy cuenta de que el límite general sería $a/9$, pero lo que indica que está demostrando ser difícil. Estoy buscando una manera de expresar el numerador como una función de la $n$ donde $n$ es la "longitud" de la serie. Es decir, si $a=4$ $44$ corresponde a $n=2$ $444$ corresponde a $n=3$. Alguna idea?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$ s_n = 3\sum_ {k = 1} ^ n10 ^ {-k} $ es claramente la suma produce progresión geometría con $r=\dfrac1{10}$.

Answer 2

$s_n = \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3\cdot 10^n}$. Así que el resultado sigue.

Answer 3

Este es el denominador en $n$ posición de los dígitos y $a$ es cualquier número entero, puesto que el denominador es %#% $ #%

Claramente $$a\sum^{n-1}_{k=0}10^k=\frac{a}{9}(10^{n}-1)$ $