Mostrar el espacio dado es incontable.

Question

Que $X$ sea un espacio de Hausdorff compacto sin cualquier punto aislado. Muestran que $X$ incontable.

Como $X$ compacto Hausdorff, es normal. entonces para cualesquiera dos distintos puntos $x$ y $y$, tenemos una continua mapa $f$ de $X$ $[0,1]$ tal que $f(x)=0$ y $f(y)=1.$
$X$ Es compacto, $f(X)$ es cerrado y limitado en $[0,1]$. Ahora quiero ver que $f(X)$ contiene un intervalo utilizando el hecho de que $X$ no tiene ningún punto aislado. Que alguien me ayude.

Answer 1

Una forma de hacerlo es a través de una versión de la Categoría de Baire Teorema, el cual establece que cada localmente compacto espacio de Hausdorff es un espacio de Baire, es decir, no es la unión de una contables conjunto de la nada densa subconjuntos. Recordemos que compacta implica localmente compacto, por lo $X$ no es la unión de una contables conjunto de la nada densa subconjuntos. Pero $$X=\bigcup_{x\in X}\{x\}$$ y cada una de las $\{x\}$ es denso en ninguna parte desde $x$ no es un punto aislado, por lo $X$ debe ser incontables.

Answer 2

La idea de utilizar la normalidad para mostrar que $X$ pueden ser visualizados en el intervalo de $[0,1]$ es buena, pero no funciona: si $X=A\cup B$ donde $A$ $B$ son disjuntas clopen (= cerrado y abierto) establece, en su función será

$$f:X\to[0,1]:x\mapsto\begin{cases}0,&\text{if }x\in A\\1,&\text{if }x\in B\end{cases}$$

o por el contrario que se lleva a $A$$1$$B$%#%: se supone que solo los dos valores de $0$ $0$ y, por tanto, sólo se mostrarán los que $1$, lo que no ayuda.

Esta respuesta a una ligeramente diferente en cuestión utiliza una idea que puede ser modificado para trabajar aquí. De hecho, es más sencillo en este entorno. La idea básica es empezar con los no-vacío abierto conjuntos de $|X|\ge 2$ $U_0$ cuyos cierres son disjuntas. Dentro de $U_1$ encontrar no-vacío abierto conjuntos de $U_0$ $U_{00}$ cuyos cierres son distintos, y dentro de $U_{01}$ encontrar no-vacío abierto conjuntos de $U_1$ $U_{10}$ cuyos cierres son disjuntas. En general, si $U_{11}$ es cualquier secuencia finita de ceros y unos, dentro de $\sigma$ encontrar no-vacío abierto conjuntos de $U_\sigma$ $U_{\sigma^\frown 0}$ cuyos cierres son disjuntas. (Aquí se $U_{\sigma^\frown 1}$ es la secuencia finita obtenido añadiendo $\sigma^\frown i$$i$.) La hipótesis sobre la $\sigma$ asegurarse de que esto es posible; ¿por qué?

Demostrar que si $X$ es cualquier secuencia infinita de ceros y unos, a continuación,

$\sigma=\langle i_k:k\in\Bbb N\rangle$$

y use esto para mostrar que $$\bigcap_{k\in\Bbb N}\operatorname{cl}U_{i_0i_1\dots i_k}\ne\varnothing\;,$.

Usted puede encontrar que ayuda a su intuición de pensar de los conjuntos de $|X|\ge 2^\omega=\mathfrak{c}$ es como la del cerrado intervalos en la construcción de la media tercios conjunto de Cantor: $\operatorname{cl}U_\sigma$ es como $\operatorname{cl}U_0$, $\left[0,\frac13\right]$ es como $\operatorname{cl}U_1$, $\left[\frac23,1\right]$ es como $\operatorname{cl}U_{01}$, y así sucesivamente.