Por qué funcionan los límites de

Question

Soy actualmente un estudiante de primer año en ingeniería eléctrica y ciencias de la computación. Sé cómo calcular límites, derivadas, integrales con respecto a una variable que es cosas de una variable cálculo (matemáticas 1). En matemáticas 2 actualmente estamos trabajando en la serie (convergente, divergente, integral criterios, D'Alemberts criterios, Cauchy criterios de convergencia absoluta ...). El inglés no es mi lengua materna, así que me perdone yo hechizo algo mal o tiene errores de gramática. Voy a intentar explicar a mis preguntas lo mejor que pueda. Tengo varias preguntas, pero todas están entrelazadas. Puesto que todas estas cosas "necesidad" de los límites, ellos son mi principal confusión.

1. Entiendo que la intuición detrás del límite y de la épsilon-delta definición, pero ¿por qué funciona en la práctica. Es por eso que puedo decir al calcular la derivada de, por ejemplo,$x^2$$2x$? En $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ I no sólo puede poner $0$ desde que obtendría $\frac{0}{0}$, que sería la "verdadera" derivado, porque no sé lo que es. Después de algún tipo de manipulación conseguiría $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x + \Delta x$ y desde $\Delta x$ $0$ que sería igual a $2x$. Pero esto $\Delta x$ nunca se $0$, al menos como yo veo esto y a partir de la definición de límite se podría decir que puedo hacer $\Delta x$ como cierre a $0$, pero no es igual, si estoy dispuesta a hacer $x_1$ $x_2$ tan cerca el uno del otro. ¿Por qué ahora quiero aprovechar esta $2x$ y decir por ejemplo que la derivada de alguien posición del tiempo es $2x$ que es su velocidad es de $2x$ e no $2x +$ pequeña $\Delta x$?

2. Cuando se trata de ver si una serie infinita (que nunca termina) converge o diverge ¿por qué me mira de una secuencia de sumas parciales (infinito) de la serie y se basa en su convergencia o divergencia decir si la serie diverge o converge?

3. Cuando me vienen a profesores y pedir estos y estas preguntas me dicen ¿por qué estoy molestando a mi yo con la pregunta y que debo tomar por sentado. A continuación, sólo quiero matar a mi auto. Me refiero a que no he venido aquí para estudiar cómo y por qué funcionan las cosas? Me gustaría más si acaban de decirme que si se trata de un "superior" o de la parte más compleja de las matemáticas y que voy a aprender acerca de ella más tarde o que simplemente no sé por qué funciona de la manera en que funciona. Así que debo incluso a seguir para el estudio de estas cosas, ya que siempre voy a venir a través de algo que yo no sería capaz de entender (ya que estos "basic" los límites son confusos mí) y todos estos profesores y de la academia me dicen que no debería preocuparse por qué funciona la forma en que funciona y que solo debo tomar por sentado.

4. Todos los teoremas utilizados para la prueba derivada, integral, convergencia, divergencia, etc. el uso de una u otra manera los límites. Pero en la definición del límite dice que me puede hacer algo de $f(x)$ tan cerca a algunos de valor de L, pero no es igual a ella, mientras yo estoy dispuesto a hacer $x$ tan cerca a algunos de valor de $c$. Esta definición se supone que para ser matemático riguroso, pero el uso de estas tan cerca no "mira" riguroso para mí.

Por favor ayudarme, ya no sé que debo incluso continuar con mis estudios ya que siempre hay alguna prueba matemática que no entiendo y es la prevención de mí para ir hacia adelante y de esa manera siempre estoy falto detrás y todo el mundo espera que para entender todo lo que la primera vez que lo oigo. Voy a estar agradecido por todos los comentarios y sugerencias.

Answer 1

Una función de $f:\>x\mapsto f(x)$ dado por algunos de expresión tiene un "natural" dominio de definición de $D(f)$: el conjunto de todos los $x$ en el ámbito del discurso (${\mathbb R}$ o ${\mathbb C}$, por ejemplo) para que $f(x)$ puede ser evaluada sin hacer preguntas. En la mayoría de los casos $f$ es continua a lo largo de $D(f)$, lo que significa que para todos los $x_0\in D(f)$, cuando se $x$ es lo suficientemente cerca de a $x_0$ $f(x)$ está muy cerca de a $f(x_0)$.

Ahora algunos $f$'s puede tener "excepcional puntos" donde ellos no son continuas, por ejemplo, el signo de la función, que se define en todos los de ${\mathbb R}$, pero es discontinua en a $0$. Por encima de todo, el conjunto $D(f)$ puede tener "real" o "virtual" puntos de límite, donde $f$ es a priori indefinido. Pero sin embargo tenemos la sensación de que $f$ tiene un "razonable" de la conducta en la vecindad de un punto. Ejemplos son $x\mapsto{\sin x\over x}$ $x=0$ ("real" límite de punto de $D(f)$) o $x\mapsto e^{-x}$ al $x\to\infty$ (aquí se $\infty$ es un "virtual" límite de punto de $D(f)$).

Con todo, el concepto de "límite" es una herramienta para manejar tales "excepcional", o: "limitar", de los casos. Un todo-importantes ejemplo del curso es el siguiente: Al $f$ está definido en un barrio de $x_0$ estamos interesados en la función $$m:\quad x\mapsto{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}$$ que tiene un "excepcional" punto en $x_0$. Es imposible para conectar $x:=x_0$ en la definición de $m$.

Esto me lleva a su punto 4. que llega al corazón de la cuestión. Me gustaría reescribir te central de la oración como sigue: En la definición del límite de $f(x)$ $x\to c$ dice que puedo hacer $f(x)$ como cierre para el valor de $L$ como yo quiero, mientras yo estoy dispuesto a hacer $x$ lo suficientemente cerca de a $c$. La idea es: si bien es en la mayoría de los casos, imposible poner $x:=c$ en la definición de $f$, queremos describir cómo $f$ se comporta al $x$ está muy cerca de a $c$.

Luego van a decir que "esta definición se supone que para ser matemáticamente riguroso, pero el uso de estas tan cerca y lo suficientemente cerca no se ven riguroso para mí".

Todo $\epsilon$-$\delta$ negocio sirve exactamente el propósito de hacer que el lenguaje coloquial en el manejo de tan cerca y lo suficientemente cerca que está lamentando riguroso.

La vida sería más fácil si pudiéramos definir $\lim_{x\to c}f(x)=L$ por la condición de $|f(x)-L|\leq |x-c|$, o quizás $|f(x)-L|\leq 100|x-c|$. Pero cuatro siglos de tratar con los límites que nos han enseñado que el $\epsilon$-$\delta$ definición de límite, llegó a sólo alrededor de 1870 o así, capta nuestra intuición acerca de ellos en una forma óptima. Se ocupa así de imprevisibles de los casos, cuando el error de $|f(x)-L|$ puede hacerse tan pequeño como nosotros queremos, pero necesitamos un esfuerzo extra en la cercanía de $x$$c$, por ejemplo, $|x-c|<\epsilon^2$ en lugar de ${\epsilon\over100}$.

Answer 2

Por definición, vamos a empezar con la moderna definición de los límites. Si $f$ es un valor real de la función definida en algunos eliminado barrio de el real de número de $c$, entonces decimos "$\lim(f, c) = L$" si:

Para cada $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ que si $0 < |x - c| < \delta$,$|f(x) - L| < \varepsilon$.

Muchas personas encuentran que es útil a la vista de esta definición, como un conjunto de reglas para un juego contradictorio. Una función de $f$$c$, y un posible límite de $L$ se dan como en el anterior. Reproductor $\varepsilon$ problemas de un "desafío" en la forma de un número real positivo. Para "afrontar" el reto es asegurar que las $|f(x) - L| < \varepsilon$ todos los $x$ acostado en algunos eliminado barrio de $c$. El rival, el Jugador $\delta$, en consecuencia, los intentos de emitir una "respuesta": para especificar un número real positivo $\delta$ de manera tal que cada ubicación de $x \neq c$ $|x - c| < \delta$ satisface $|f(x) - L| < \varepsilon$.

Decir "$\lim(f, c) = L$" es decir Reproductor $\delta$ tiene una estrategia ganadora en contra de un oponente perfecto; es decir, el Jugador $\delta$ puede responder a cualquier desafío. Esto es precisamente lo que se quiere decir por decir, "podemos hacer $f(x)$ cerca de $L$ como nos gusta por tomar $x$ lo suficientemente cerca de a $c$ (no es igual a $c$)."

---

Los límites son únicos: Si $f$ $c$ se dan, en la mayoría de un número $L$ satisface la anterior definición. De hecho, si $L_1$ $L_2$ ambos satisfacen la definición, a continuación, para cada $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ que si $0 < |x - c| < \delta$, luego $$ |f(x) - L_1| < \varepsilon/2\quad\text{y}\quad |f(x) - L_2| < \varepsilon/2. $$ (Este es un estándar de la analítica de lenguaje; elegir un $\delta_1 > 0$ que "funciona" para $L_1$, escoja una $\delta_2 > 0$ que "funciona" para $L_2$, y deje $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$.)

Ahora escoge una arbitraria $x$$0 < |x - c| < \delta$. Por la desigualdad de triángulo, $$ |L_1 - L_2| = |L_1 - f(x) + f(x) - L_2| \leq |f(x) - L_1| + |f(x) - L_2| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon. $$ Pero esta desigualdad es una declaración acerca de dos (fija) de números reales, y si $|L_1 - L_2| < \varepsilon$ por cada $\varepsilon > 0$ ,$L_1 = L_2$.

En la práctica, si se demuestra que algunos límite es $2x$, luego de que el mismo límite, no puede ser $2x + \Delta x$ si $\Delta x = 0$.

---

He aquí cómo la definición formal de obras para el cálculo de la derivada de $g(x) = x^2$: Fijar un número real $c$, definir $$ f(h) = \frac{g(c + h) - g(c)}{h},\quad h \neq 0, $$ y poner $L = 2c$. (La definición sólo nos permite "probar" un posible límite; utilizar la definición que debemos adivinar el límite de antemano. Aquí se puede notar que el$f(h) = 2c + h$$h \neq 0$; si nos wishfully set $h = 0$, obtenemos nuestra suposición para $L$. Como aún no hemos probado nada, porque todos sabemos, esta suposición es incorrecta.)

Ahora vamos a jugar el formal límite de juego: el Jugador $\varepsilon$ plantea un reto. Reproductor $\delta$'s objetivo es encontrar a $\delta > 0$ que si $h \neq 0$$|h| < \delta$, luego $$ |f(h) - L| = \left|\frac{g(c + h) - g(c)}{h} - 2c\right| = \left|\frac{(c + h)^2 - c^2 - 2ch}{h}\right| = \left|\frac{h^2}{h}\right| = |h| < \varepsilon. $$ A partir de este "borrador de trabajo"/estrategias, Reproductor de $\delta$ descubre que pueden ganar por responder al reto. Es decir, si $\varepsilon > 0$ es arbitrario, existe un $\delta > 0$ (específicamente, $\delta = \varepsilon$ en este ejemplo) de tal forma que si $0 < |h| < \delta$, luego $$ |f(h) - L| = \cdots = |h| < \varepsilon $$ (debido a que $\varepsilon = \delta$).

---

Si usted está tratando con una serie infinita, el papel de la función es desempeñada por una suma parcial de la serie, visto como una función del índice: $$ s(n) = s_n = \sum_{k=1}^n a_k. $$ Decir que la serie tiene suma $s$ es decir que por cada $\varepsilon > 0$, existe un entero positivo $N$ que si $n \geq N$,$|s - s_n| < \varepsilon$. Esta definición es un desafío-respuesta juego de exactamente el mismo tipo como el "real" límite de juego. El "valor de la función" $f(x)$ hace $s_n$, el potencial de "límite" es $s$ (que, de nuevo, debe ser conocido de antemano), el "reto" es $\varepsilon > 0$, y la "respuesta" es una $N$; la respuesta de "gana" si $n \geq N$ implica $|s - s_n| < \varepsilon$.

(La condición de "$n \geq N$" reemplaza a "$0 < |x - c| < \delta$"; muy vagamente, esta condición afirma que "$n$ está más cerca de a $\infty$ $N$ es". La condición de $|s - s_n| < \varepsilon$ es el análogo directo de $|f(x) - L| < \varepsilon$.)

En caso de que estas observaciones son útiles:

1. Un valor de $f(x)$ puede o no ser igual al límite de $L$. Del mismo modo, una suma parcial $s_n$ de una infinita serie puede o no puede ser igual a la suma de $s$.

2. Usted no puede determinar si una serie converge o diverge mirando un acotado número de términos; debe mirar arbitraria finito de sumas. Esto es análogo a la imposibilidad de determinar un límite de una función mediante el examen de sólo un número finito de puntos del dominio. (Ejercicios de cálculo que para "evaluar" un límite por el taponamiento de los pequeños números en una calculadora son intuitivamente convincente, pero, lógicamente, sin contenido. Existencia y evaluación de $\lim(f, c)$ puede nunca ser rigurosamente determinado por mirar los valores de $f$ en un número finito de puntos).

3. Te he visto, sin duda, "la convergencia de pruebas" para la serie infinita, y ustedes saben que mientras $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\quad\text{y}\quad \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3} $$ ambos convergen (es decir, tienen finito de sumas de dinero), la suma de los primeros es$\pi^2/6$, mientras que la suma de la segunda es "desconocido" (al momento de escribir esto). Pero recuerda, la definición de convergencia requiere que el límite se conoce de antemano. La laguna es este: Considerar el conjunto de los números reales $S = \{s_n\}_{n=1}^\infty$, con $$ s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^3}. $$ Es fácil demostrar que $S$ es no vacío y acotado anteriormente. Se sigue por la "integridad de la propiedad" de la real número de sistema de $S$ tiene un "supremum" o "menos límite superior" $s$, el menor número real mayor o igual que el número de todos en $S$. Es también sencillo para demostrar $s$ es la suma de la serie. Cuando decimos "$s$ es desconocido", simplemente significa que no se conoce la fórmula para $s$ en términos de familiares números (como $e$, $\pi$, o de las raíces de los números racionales).

Answer 3

He leído las respuestas y la mayoría de ellos son de muy alta calidad, pero todavía creo que puedo contribuir un poco. Espero que esto sea útil.

1– supongo que sabe la rigurosa prueba de que la derivada de $x^2$ (es decir, el límite de $((x+h)^2-x^2) / h$$h\to 0$)$2x$.Supongamos que la posición de una partícula en algún marco de referencia está dado por $x^2$ cuando exactamente $x$ segundos han pasado.

La razón por la que puede decir que su velocidad es de $2x$ e no $2x+\Delta x$ es una cuestión de la definición de la palabra velocidad. En la física teórica de la velocidad se define como el límite de valor se acaba de describir al $h\to0$ y no como cualquier valor de la relación para cualquier valor positivo de $h$ alguna.

Es un poco paradójico que usted nunca será capaz de medir esta velocidad: incluso si se mide la posición en dos muy muy cerca de los momentos y calcular la relación, usted siempre será conseguir que el pequeño $\Delta x$ como una perturbación en su cálculo. La parte más sorprendente es que si usted mejorar sus técnicas de medición y reducir el intervalo entre las medidas que usted realmente va a conseguir algo más cerca de a $2x$ cada vez.

El hecho de que usted está seguro acerca de esto, de que los valores se acercará más y más a $2x$ cuando se aproximan a la relación por más y más a $\Delta x$ (que es lo que puede demostrar matemáticamente con la $\epsilon-\delta$ definición), es lo que te motiva para definir el "real", "instantánea" de la velocidad para ser igual a $2x$. Esta velocidad no es una relación de cualquier distancia realmente recorrida en cualquier intervalo de tiempo, pero un límite de valor de estos coeficientes.

Por qué matemático, abstracto, definición de las obras en la práctica es una totalmente diferente de la pregunta, y me temo que nadie tiene una completa respuesta para ella. Después de todo, es un producto de la razón, no de de la observación. El físico Eugene Wigner escribió un famoso ensayo sobre estos temas, llama La irrazonable efectividad de las matemáticas en la natural ciencias. Algunas personas religiosas como para pensar que dios realmente creó el mundo físico matemáticos, normas y leyes que pueden ser descubierto por nosotros, otros como para aceptar que esto sólo funciona en la mayoría de los de los casos (no cuántica o relativista escenarios) como muestra la práctica y son felices con eso, otros simplemente evitar la pregunta.

Sólo un pensamiento: no es que la afirmación de que "la posición de la partícula en el tiempo $x$ $x^2$" igualmente abstractas? Incluso si se mide la posición de un mil millones de veces por segundo, y haciendo caso omiso de los errores de medición, se estaría dando un salto de fe al creer que la posición en el infinito número de segundos que no medida obedecen a la misma regla. Lo que suele ser "lo mejor posible" en las ciencias naturales es estar seguro de las cosas hasta un punto determinado y luego asumir que esto se mantenga siempre por el razonamiento inductivo.

2– de Nuevo, no es que "puede hacerlo", es que lo que se cita es la definición de una infinita suma. No se puede contar hasta el infinito, y nadie puede suma de un número infinito de términos. El símbolo $\sum_0^\infty a_n$ es nonesense hasta que estamos de acuerdo en lo que queremos decir con él! Si usted piensa que el símbolo que representa el valor límite de la secuencia de sumas parciales cuando existe, puede asignar un significado a la misma: a continuación, usted tiene un nuevo juguete para jugar, y usted puede aprender cómo jugar con él.

Lo que desea la hora de definir algo es que esta definición capta las propiedades deseables: que se puede tratar y operar con infinitas sumas de la forma de tratar y operar con una suma normal, y que va a trabajar. Como ingeniero, probablemente también queremos que sea útil, para ayudar a resolver problemas como las ecuaciones diferenciales, por ejemplo.

Si usted demostrar que esta definición comparte las mismas propiedades que el normal, finito, suma, entonces usted puede jugar con este nuevo juguete de la misma forma que con la anterior. Para asegurarse de que este es el caso, demostrar los teoremas que decir que $\sum_0^\infty(a_n+b_n)=\sum_0^\infty a_n + \sum_0^\infty b_n \,$ , y así sucesivamente. Si vas a estudiar y entender las pruebas de estos teoremas, podrás ver dónde y cómo la definición que se utiliza, y usted será capaz de apreciar por qué fue creado de la manera que fue.

3– creo que la curiosidad intelectual es una cosa muy importante a tener. Usted no tiene que necesariamente terminar su búsqueda con sus profesores, usted probablemente encontrará que diferentes personas que conocerás será capaz de proporcionar respuestas para diferentes tipos de preguntas. En ese sentido, es bueno que te están pidiendo esta aquí. Que nunca le hará daño si un ingeniero sabe que su matemáticas, se ha preguntado a sí mismo preguntas profundas y ha tratado de responder a ellos en serio. Creo que probablemente le hará ser un mejor profesional (o un mejor ser humano) si usted encuentra su propio camino a través del aprendizaje.

4– Esta cuarta pregunta ha sido abordada por varias personas aquí, no puede tener una respuesta mejor que la de muchos de ellos. Sólo puedo insistir en que el rigor en el tan cerca como usted desea que viene en el $\epsilon-\delta$ definición del límite y el hecho de que usted puede probar que el límite es una única, bien definida de objetos.

Answer 4

Una forma de explicar cómo $2x+\Delta x$ "se convierte en" $2x$ es aplicando el estándar de la función de la pieza. Esta función, que se denota "st", descarta el infinitesimal plazo $\Delta x$, de manera que obtenemos $\text{st}(2x+\Delta x)= 2x$. Desde este punto de vista, el derivado no de la relación de $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, pero en lugar de la estándar de la parte de la misma, es decir,$f'(x)=\text{st}\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)$.

Uno puede explicar el límite de una secuencia $(u_n)$ esta manera, también. Aquí tomando el límite implica dos pasos: (1) la evaluación de la secuencia en un infinito valor del índice $n=H$, dicen, y (2) tomar parte estándar.

Por ejemplo, el límite de $(\frac{1}{n})$ es el estándar de la parte de $\frac{1}{H}$. Desde $H$ es infinito, $\frac{1}{H}$ es infinitesimal, y el estándar de la parte de cada uno de los infinitesimales es $0$. Por lo tanto $$\lim _{n\to\infty}\frac{1}{n}=\text{st}\left(\frac{1}{H}\right)=0.$$

Edición 1. El OP escribió: "Después de la manipulación de que obtendría $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x + \Delta x$ y desde $\Delta x$ $0$ que sería igual a $2x$. Pero esto $\Delta x$ nunca se $0$, al menos como yo veo esto y a partir de la definición de límite se podría decir que puedo hacer $\Delta x$ como cierre a $0$, pero no es igual a [él]". La explicación es que el cálculo del límite de uso de los números reales es una indirecta procedimiento. En primer lugar usted necesita para adivinar el valor del límite por ensayo y error o alguna heurística procedimiento, y sólo entonces construir una prueba, normalmente un épsilon-delta uno, que este número se hace el truco. Aquí epsilon-delta son una manera indirecta de contabilidad para la desaparición del resto término $\Delta x$. Por otro lado, si uno considera el límite como una 2-paso el procedimiento como se describe anteriormente (primer evaluar en un infinito índice y, a continuación, aplicar el estándar de la parte a descartar el resto de los infinitesimales), se obtiene un directo procedimiento para deshacerse de el resto término que permite adivinar la respuesta y demostrar que es la correcta simultáneamente. La prueba coincide con la heurística de la etapa.

Answer 5

Si estoy entendiendo bien tu pregunta, en esencia: ¿Cómo podemos decir que un límite es $\textbf{equal}$ a algo, cuando en realidad sólo ha $\textbf{gets very close}$?

Esto es debido a la forma que hemos elegido para $\textbf{define}$ un límite. Es una cuestión de convención se podría decir. Para enfatizar este considere lo que su epsilon delta definición dice:

"$\textbf{We say}$ que el límite de $f(x)$ $x$ va a $a$ $\textbf{is equal}$ a $L$ si y sólo si para todos los $\varepsilon >0$ existe un $\delta>0$, de modo que $|f(x)-L|<\varepsilon$ siempre $|x-a|<\delta$."

Ahora supongamos que tenemos la función de $f(x)=x$ y les hago la siguiente pregunta:

¿Cuál es el único número $L$ que me permitirá hacer $|f(x)-L|$ tan pequeño como me gusta si estoy tomando $x$ muy cerca de $0$ $\textit{ie.}$ si me tome $|x-0|<\delta$?

El número que funciona en este caso es $L=0$. Entonces, ¿qué hace nuestra definición de decir acerca de esto $L$? Se dice que el límite de $f$ $x$ va a $0$ $\textbf{is equal}$ a $L$. O se ponen en una forma más compacta de anotación forma $\lim\limits_{x \to 0}f(x)=L=0$.

Cuando decimos que el límite de una función es igual a algo que queremos decir es igual al número de $L$ con las propiedades que se indica en la definición.