Convergencia de una integral de línea a lo largo del arco semicircular

Question

Hay una integral de línea en una forma,

ps

"arco" es una línea semicircular con radio$$\int_\mathrm{arc} \frac{\exp(iz)}{z^2+1} \, dz$ en el plano complejo de la mitad superior. y sé que la integral converge a cero cuando R va al infinito.

¿Qué pasa con esta integral como$R$ va al infinito? $R$ $ Espero que la segunda integral converge a una constante fija como$$\int_\mathrm{arc} \frac{\exp(iz)}{z+1} \, dz$ va al infinito. ¿Estoy bien? si soy, ¿cómo puedo calcular esta constante?

Answer 1

No, creo que la segunda integral también desaparece. Escribe la integral como

ps

La magnitud de la integral está limitada por

ps

que desaparece como$$i R \int_0^{\pi} d\theta \, e^{i \theta} \frac{e^{i R e^{i \theta}}}{1+R e^{i \theta}} = i R \int_0^{\pi} d\theta \, \, e^{i \theta + i R \cos{\theta}} \frac{e^{-R \sin{\theta}}}{1+R e^{i \theta}}$ como$$\frac{2 R}{R-1} \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{-R \sin{\theta}} \le \frac{2 R}{R-1} \int_0^{\pi/2} d\theta \, e^{-2 R\theta/\pi} \le \frac{\pi}{R-1} $. Esta es esencialmente una forma de lemma de Jordan.

Answer 2

Para$0\le\theta\le\frac\pi2$, $$ \begin{align} \left|\frac{e^{iz}}{z+1}\right| &\le\frac{e^{-\mathrm{Im}(z)}}{|z|-1}\\ &\le\frac{e^{-r\sin(\theta)}}{r-1}\\ &\le\frac{e^{-2r\theta/\pi}}{r-1}\\ \end {align} $$ Para$\frac\pi2\le\theta\le\pi$, $$ Multiplicar por$r$ e integrar en$\theta$. {1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ '\ \ pi \ e \ {\ ^ {2} - \ r \ n \ r \ n \ r \ (1-e ^ {- r} \ right) $$