Máximo$\int_{0}^{y}\sqrt{x^4+\left(y-y^2\right)^2}dx$ donde$y\in \left[0,1\right]$?

Question

¿Cómo encontrar máximo esta integral$$\int_{0}^{y}\sqrt{x^4+\left(y-y^2\right)^2}dx$$ where $ y \ in \ left [0,1 \ right] $?

Answer 1

Como$g(y)=y(1-y)$ está aumentando sobre$I=\left[0,\frac{1}{2}\right]$, por lo que es$f$. Suponga ahora$y\in\left[\frac{1}{2},1\right]$.

Tenemos:$$ f'(y)=-\int_{0}^{y}\frac{(y-y^2)(2y-1)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}}dx+\sqrt{y^4+(y-y^2)^2},\tag{1}$ $ pero en virtud del teorema del valor medio:$$ \int_{0}^{y}\frac{(y-y^2)(2y-1)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}}dx \leq y(2y-1)\tag{2}$ $ por lo que es suficiente para demostrar que:$$ y^2+(1-y)^2 \geq (2y-1)^2 \tag{3}$ $ para cualquier$y\in\left[\frac{1}{2},1\right]$, tener ese$f$ está aumentando sobre$[0,1]$. Sin embargo,$(3)$ es equivalente a$y(1-y)\geq 0$, que es trivial. Esto da que el máximo de$f(y)$ sobre$[0,1]$ se alcanza en$y=1$, y el máximo es$\frac{1}{3}$.

Answer 2

Por diferenciación bajo el signo integral obtenemos \begin{align*}\left(\int_0^y\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}\,dx\right)'&=\int_0^y\frac{2(y-y^2)(1-2y)}{2\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}}dx+\sqrt{y^4+(y-y^2)^2}\\&=\sqrt{y^4+(y-y^2)^2}+\int_0^y\frac{y(1-y)(1-2y)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}}dx,\end {align *} lo cual es positivo para$y\in(0,\frac12)$. Por lo tanto, es positivo si$y\in(\frac12,1)$ $ Por lo tanto, queda por verificar que$$\int_0^y\frac{(2y-1)(y-y^2)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}}dx=-\int_0^y\frac{y(1-y)(1-2y)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}}dx<\sqrt{y^4+(y-y^2)^2}=y\sqrt{y^2+(1-y)^2}.$ $ Por lo tanto, podemos concluir que el máximo se alcanza para% #% donde es$$\int_0^y\frac{(2y-1)(y-y^2)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}}dx<y\cdot\frac{(2y-1)(y-y^2)}{\sqrt{(y-y^2)^2}}=y(2y-1),$ $

Answer 3

INSINUACIÓN:

Si tomamos un derivado con respecto a$y$ y lo configuramos como igual a$0$ tenemos:$$\int_{0}^{y}\frac{(y-y^2)(1-2y)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}}dx+\sqrt{y^4+(y-y^2)^2}=0$ $ Por lo tanto:$$\int_{0}^{y}\frac{dx}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}}dx=\frac{\sqrt{y^4+(y-y^2)^2}}{(y-y^2)(2y-1)}$ $

Answer 4

ps

Ahora%

Compruebe el signo de$$\begin{align}\frac{d}{dy}(f(y)) &= \frac{d}{dy} \Bigg(\int_{0}^{y}\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}dx\Bigg) \\&= \int_{0}^{y}\frac{(y -y^2)(1-2y)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}} dx + \sqrt{y^4+(y-y^2)^2} . 1\end{align}$ para ver si la función$$\begin{align}&\int_{0}^{y}\frac{(y -y^2)(1-2y)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}} dx + \sqrt{y^4+(y-y^2)^2} = 0 \\&\Rightarrow \int_{0}^{y}\frac{(y -y^2)(1-2y)}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}} dx = - \sqrt{y^4+(y-y^2)^2} \\&\Rightarrow \int_{0}^{y}\frac{1}{\sqrt{x^4+(y-y^2)^2}} dx = \frac{\sqrt{y^4+(y-y^2)^2}}{(y-y^2)(2y-1)} \end{align}$ está disminuyendo, aumentando.