Integral de las Funciones Racionales

Question

$ # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ \ sqrt {a} \ bigl (x \ frac {b} {2a} \ bigr) \ Bigr) ^ 2 \ Bigr (\ sqrt {\ frac {4ac-b ^ 2} {4a}} } = \ frac {2 \ sqrt {a}} {\ sqrt {4ac-b ^ 2}} \ arctan \ frac {2ax b} {\ sqrt {4ac-b ^ 2}} $$ La respuesta correcta no tiene el$$\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} \quad \text{for} \quad 4ac-b^2 >0$ en el numerador. He revisado mi trabajo, pero claramente he cometido un error tonto. ¿Puede cualquier persona por favor dejarme saber donde se hizo tal error? ¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

Es difícil de depurar, ya que falta algún detalle. Para hacer las cosas menos complicadas, reescribiría la integral como$$ \int\frac{4a\,dx}{(2ax+b)^2+4ac-b^2}.$ $ Let$4ac-b^2=K^2$. Entonces deja$2ax+b=Ku$. Tenemos $2a \,dx=K\,du$. Así que nuestra integral es$$\int \frac{2K\,du}{K^2u^2+K^2},$ $ que es$$\frac{2}{K}\arctan u+C.$ $

Observación: No me gustan las fracciones, así que para completar el cuadrado prefiero escribir$$ax^2+bx+c=\frac{1}{4a}\left(4a^2x^2+4abx+4c\right)=\frac{1}{4a}\left((2ax+b)^2-(b^2-4ac) \right).$ $

Answer 2

Yo resolvería las raíces y usaría fracciones parciales, sólo para ser más ordenado? has intentado eso

Answer 3

Una manera de hacer el diagnóstico de estos tipos de errores de forma más fácil es fingir sus variables son dimensiones (es decir, que tienen unidades). Supongamos $x$ tiene unidades de longitud (o usted podría escoger la masa o el tiempo, o una unidad), que voy a escribir en taquigrafía como $[x] = L$. Entonces si $[a] = L^{-2}$ $[b] = L^{-1}$ $[c] = 1$ ($c$ es radio sin unidades), las unidades son consistentes y su respuesta final debe tener unidades de longitud, debido a que $[dx] = L$ y el denominador es el radio sin unidades. (Es importante asegurarse de que las unidades son consistentes cuando se inicia, porque si tienes algo como $1 + u^2$ simplemente no se puede asignar unidades a $u$.)

Ahora sólo tiene que ir a través de sus pasos y buscar el punto en el que las unidades de dejar de ser coherente. Todo está bien hasta el último paso se ha demostrado, es decir, esta expresión

$$\int \frac{dx}{\Bigl(\sqrt{a}\bigl(x+\frac{b}{2a}\bigr)\Bigr)^2 + \Bigr(\sqrt{\frac{4ac-b^2}{4a}}\Bigr)^2}$$

todavía tiene las unidades correctas ($[dx] = L$ y el denominador radio sin unidades), por lo que el error vino en algún lugar en los pasos que no se muestran. Obviamente, eso es todo lo que puedo decir sin que muestra los pasos, pero tal vez esta técnica se puede aplicar a su propio trabajo y ver exactamente dónde extra $\sqrt{a}$ vino.