¿Algún subespacio de un espacio débil de Hausdorff necesariamente debilita a Hausdorff?

Question

Como el título sugiere, es cualquier subespacio de un espacio débil de Hausdorff necesariamente débil Hausdorff. Gracias.

Answer 1

Supongamos que$X$ es débilmente Hausdorff, y$Y\subseteq X$. Sea$K$ un espacio compacto de Hausdorff, y permita que$f:K\to Y$ sea continua. Entonces$f$ también puede ser visto como un mapa continuo de$K$ en$X$, así que$f[K]$ se cierra en$X$ y$f[K]=f[K]\cap Y$ encerrado $Y$. La debilidad de la separación es hereditaria.