Ámbitos fundamentales de medida que preservan las acciones

Question

Supongamos que un grupo finito actúa sobre un espacio de probabilidad estándar$G$ por acciones de conservación de medida (es decir,$(X, \mu)$ para todos$\mu(g(A)) = \mu(A)$ y$g \in G$ mensurables). Además, supongamos que para$A \subset X$ y$g \in G$ no la identidad entonces$g$. Me pregunto si siempre es posible encontrar un dominio fundamental$\mu(\{x:g(x) = x\})=0$ de la acción de$D$, es decir, hay un$G$ mensurable tal que$D \subset X$ es la unión disjunta hasta la medida 0) de los conjuntos$G$?

Answer 1

Creo que la respuesta es sí. Puede que el primer show, que una vez que ha configurado $A$ de los no-cero de la medida, de tal manera que $g(A) = A$ cualquier $g \in G$, hay algunos $B \subset A$ de los no-cero de la medida, de tal manera que $g(B) \cap h(B) = \emptyset$$g \ne h$. Si esto se demuestra, entonces usted puede probar su declaración por Zorn-como argumento, mostrando que el conjunto $A$ de la máxima de la medida, de tal manera que $g(A) \cap h(A) = \emptyset$ será la fundamental de dominio.

Aquí es una sugerencia de cómo mostrar la primera reclamación. Tomar $g \in G$, $g \ne 1$, y un $G$invariante en el conjunto de $A$. Desde $g(x) \ne x$, hay algunos $B_0 \subset A$ de los no-cero a medida que el$g(B_0) \ne B_0$,$B_1 = B_0 \setminus (g(B_0))$. A continuación,$g(B_1) \cap B_1 = \emptyset$. Ahora a hacer lo mismo para otros $h \in G$ a partir de $B_1$.

Alternativamente, una vez puede pasar a una Piedra del espacio y el uso de continuidad para conseguir esta declaración, aunque esto requiere de más maquinaria.

Answer 2

Aquí es otra manera de encontrar fundamental de dominio. Identificar en primer lugar X en [0,1]. Usted quiere elegir un solo punto en cada órbita de la acción. Acaba de tomar la más pequeña.

Vamos a ser más específicos. Consideremos el conjunto a de puntos de x para que el número de puntos en la órbita de x es igual a la del cardenal de G. Su asunción asegura que este conjunto es de la medida completa. Tomar algún subconjunto de Borel B en Una de medida total en a, tal que G actúa en B a través de Borel transformaciones.

La fundamental dominio D se define como la imagen de B en el mapa de $x \rightarrow min\lbrace\ gx\ |\ g\in G\ \rbrace$. Ahora la imagen de un conjunto de Borel por un Borel mapa siempre es medible. La restricción de nuevo a un subconjunto de Borel plena medida, tenemos un Borel fundamental el dominio de la acción.

Answer 3

Sí, eche un vistazo a los viejos documentos de V. Rohlin:

MR0030584 (11, 18f) Rohlin, VA Sobre las ideas fundamentales de la teoría de la medida. (Ruso) Mat. Sbornik NS 25 (67), (1949). 107-150

MR0030710 (11,40b) Rohlin, VA Temas seleccionados de la teoría métrica de sistemas dinámicos. (Ruso) Uspehi Matem. Nauk (NS) 4, (1949). no. 2 (30), 57 - 128.

Answer 4

No, usted necesita alguna otra condición, ya que no están garantizados para tener muchos conjuntos medibles.

Por ejemplo, una probabilidad ritmo que consta de un solo átomo (que no necesita ser un conjunto con un solo elemento) con medida $1$ no tiene subconjuntos medibles de probabilidad $|G|^{-1}$. Usted puede dejar que el espacio se $(-1/2,0) \cup (0,1/2)$, vamos a $C_2$ act mediante la inversión de los signos, y dejar sólo los contables y cocountable subconjuntos de ser medibles, con las medidas de $0$$1$, respectivamente. Entonces ningún conjunto tiene medida $1/2$.

Ok, supongamos $(X,\mu)$ no tiene átomos. Usted todavía no está garantizado que hay suficiente conjuntos medibles. Deje que el espacio se $(-1/2,0) \cup (0,1/2)$, vamos a $C_2$ act mediante la inversión de signo, y dejar que los conjuntos medibles ser $A\cup-A$ donde $A\subset(0,1/2)$ es Lebesgue medible. A continuación, todos los conjuntos medibles son fijados por la acción de la $C_2$, por lo que no puede ser fundamental dominio. Tan lejos como teoría de la medida se refiere, este es el trivial de acción, a pesar de que nada es fijo por el elemento no trivial.

Usted necesita algunas condiciones al igual que cualquier conjunto de medida positiva contiene subconjuntos de las medidas positivas que se mueven por la acción, cuyas imágenes se miden disjuntos. Entonces (por lo menos con algún nivel de elección, pero tal vez esto no es necesario) se puede construir una fundamental dominio como máximo conjunto que tiene una medida de $0$ intersección con sus imágenes por no trivial elementos de $G$.