Una extensión normal sobre$\mathbb{Q}$

Question

Sea$f(x)$ un polinomio irreducible de grado$5$ en$\mathbb{Q}[x]$. Supongamos que$a$ y$b$ son raíces distintas de$f$ y que$\mathbb{Q}(a)=\mathbb{Q}(b)$. Mostrar que$\mathbb{Q}(a)$ es una extensión normal de$\mathbb{Q}$.

Ahora tanto$\mathbb{Q}(a)$ y$\mathbb{Q}(b)$ tienen grado al menos una raíz real y también creo que las raíces dadas no pueden ser conjugadas entre sí, de lo contrario$5$ no sería un polinomio irreducible de grado$f$. Pero no pude obtener la declaración. Cualquier ayuda sería grande.

Answer 1

Deje $K$ denotar la división de campo de la $f$$\mathbb{Q}$, y deje $G := \text{Gal}(K/\mathbb{Q})$$H := \text{Gal}(K/\mathbb{Q}(a))$. Si enumeramos las raíces de $f$$\{a,b,c,d,e\}$,$G < S_5$. Además, desde el $f$ es irreductible, $$ [G:H] = [\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}] = 5 $$ Ahora, $H = \{\sigma \in G : \sigma(a) = a\}$. Sin embargo, desde la $\mathbb{Q}(a) = \mathbb{Q}(b)$, $$ H = \{\sigma \G : \sigma(b) =b\} $$ Por lo tanto, $H < S_3$, lo $|H| \in \{1,2,3,6\}$.

Si $|H| = 6$,$|G| = 30$, pero $S_5$ no tiene un subgrupo de orden 30. Del mismo modo, $|H| \neq 3$. Si $|H| = 2$, $H$ (y, por tanto,$G$) contiene una transposición. Sin embargo, $G$ ya contiene un 5-ciclo, y por lo $G$ debe ser igual a $S_5$. Esto contradice el hecho de que $|G| = |H|[G:H] \leq 30$. Por lo tanto, $$ |H| = 1 $$ y por lo $K = \mathbb{Q}(a)$, de donde $\mathbb{Q}(a)/\mathbb{Q}$ es normal.