es inyectiva para cada ideal $f \otimes id : M \otimes A/I \rightarrow N \otimes A/I$ $I$

Question

Deje $A$ ser un anillo conmutativo. Supongamos $f:M\rightarrow N$ es una de morfismos de $A$-módulos. Si $f \otimes id : M \otimes A/I \rightarrow N \otimes A/I$ es inyectiva para todo ideal de a$I$, ¿esto implica $f \otimes id : M \otimes T \rightarrow N \otimes T$ es inyectiva para cada $A-$módulo de $T$?

Creo que esto puede ser verdad, al igual que lo hacemos cuando la comprobación de la planeidad de $A$-módulo. Pero esta condición no es equivalente a la condición de $coker f$ plano (tome $M=0, N$ no plana). También se puede reducir al caso $T$ es finitely generado como producto tensor y colimit conmutan con cada uno de los otros.

Answer 1

Supongamos que es inyectiva para cada ideal $f\otimes1:M\otimes A/I\to N\otimes A/I$ $I$. $f$ Es inyectiva y tenemos el % de SES $$0\longrightarrow M\xrightarrow{\ f\ }N\longrightarrow\mathrm{coker}(f)=:K\longrightarrow0\ .$$ Tensoring por un #%-módulo de $A$% #%, obtenemos el % LES $T$$ por lo tanto, el % de mapas $$\cdots\longrightarrow\mathrm{Tor}_1^A(K,T)\longrightarrow M\otimes T\xrightarrow{f\otimes1}N\otimes T\longrightarrow K\otimes T\longrightarrow0\ .$es inyectiva si y sólo si el mapa %#% $ de #% es trivial. En particular, si es plana $f\otimes1$, $$\mathrm{Tor}_1^A(K,T)\longrightarrow M\otimes T$ y la declaración a continuación.

No estoy seguro si la afirmación es cierta si $K=\mathrm{coker}(f)$ no es plana.

Answer 2

Asumir por parte de algunos $T$, el mapa de $M\otimes T\to N\otimes T$ no es inyectiva. A continuación, podemos encontrar un elemento $0\neq \sum_{i=1}^n m_i\otimes t_i\in M\otimes T$ que va a cero. Esto significa $\sum f(m_i)\otimes t_i=0$$N\otimes T$. Recordemos que $N\otimes T$ se define como la libre $A$ módulo generado por $N\times T$ modulo algunas de las relaciones y por lo $\sum f(m_i)\times t_i$ es en estas relaciones. Ya que puede implicar sólo un número finito de términos, podemos encontrar un número finito de $u_i\in T$ tal estas relaciones ya cuando reemplazamos $T$ por el submódulo generados por la $t_i,u_i$. Por lo tanto, es claro, que puede sustituir a $T$ con el submódulo generados por la $t_i,u_i$s y por lo tanto asumen $T$ es finitely generado.

Si $T$ es generado, esto no es posible por supuesto. Por inducción, asumir que esto no es posible para un módulo que es $n$ generados y deje $T$ $n+1$ generados. A continuación, elegir un generador de $t$, uno tendrá una secuencia exacta $0\to At\to T\to T'\to 0$ donde $T'$ $n$ generados. Dado que tanto $M\otimes At\to N\otimes At$ $M\otimes T'\to N\otimes T'$ es inyectiva, se deduce que el $M\otimes T\to N\otimes T$ también es inyectiva.