Primes dividiendo las sumas de cuadrados, pero no dividir cualquiera de sumandos marcas de verificación

Question

Soy inexperto cuando se trata de la teoría de los números (primaria) así no tienen una idea en este momento sobre la forma de resolver esto.

Nos vamos a ir a través de algunos ejemplos.

Para $k=2$ podemos tener el primer que divide $n_1^2 + n_2^2$ pero que no divide ni $n_1$ ni $n_2$. Tome $n_1=3$$n_2=5$. Que prime aquí es $p=17$.

Para $k=3$ podemos tomar como ejemplo la $n_1=3$$n_2=5$$n_3=7$. A continuación, el primer es $p=83$.

Para $k=4$ nos puede dar un ejemplo $n_1=n_2=3$$n_3=n_4=5$. A continuación, el primer es $p=17$.

No vamos a permitir que nuestro primer $p$ ser igual a$2$, por lo que vamos a buscar contraejemplos que han $p\neq 2$.

La pregunta es:

Es cierto que para cada $k \in \mathbb N \setminus \{1\}$ existen números naturales $w_1,w_2,...w_k$ (todos diferentes de $1$) de tal forma que hay un primer $p \neq 2$ que divide $\sum_{i=1}^k w_i^2$ pero no divide a cualquiera de los números de $w_1,w_2,...w_k$?

No estoy seguro en mi fluidez de inglés, así que cuando digo que "$p$ no divide a cualquiera de los números de $w_1,w_2,...w_k$" me refiero a que $p$ no divide $w_1$ $p$ no divide $w_2$ ... y $p$ no divide $w_k$.

Answer 1

Tenemos $$131=3^2+4^2+5^2+9^2=5^2+5^2+9^2$$ If $k\ne 5 $ and $k > 2 $, there are non-negative integers $ $ and $b $ wirh $ 3a + 4b = k $ Use the summands of the first represenation $tiempos de %b $ times and the summands of the second representaition $a$.

Por otra parte, $131|7^2+9^2+4^2+4^2+10^2$, por lo que el % de casos $k=5$se soluciona así.

Answer 2

Vamos a probar una más fuerte reclamo

La Pregunta(I): Supongamos que el número natural $k \geq 3$ y un primer número $p \geq 7$ se dan; entonces no existen números naturales $w_1,w_2,...w_k$ (todos diferentes de $1$) tal que $p$ divide $\sum_{i=1}^k w_i^2$ pero no divide a cualquiera de los números de $w_1,w_2,...w_k$?

Antes de probar esto, vamos a probar otro problema:
La Pregunta(I): Supongamos que el número natural $k \geq 3$ y un primer número $p \geq 7$ se dan; entonces no existen números naturales $w_1, w_2, ..., w_k$ tal que $p$ divide $\sum_{i=1}^k w_i^2$ pero no divide a cualquiera de los números de $w_1,w_2,...w_k$?

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Lema: Dado un número primo $p \geq 7$ y cualquier entero $a$ tal que $p \nmid a$.
Entonces existen números naturales $n, m$ tal forma que:

$$p \mid n^2+m^2-a; \qquad \qquad p\nmid n; \qquad \qquad p \nmid m. $$ Prueba: Ver aquí.

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La prueba de la pregunta(II):

• Si $p\nmid k-2$
  deje $w_1=w_2=...=w_{k-2}=1$; y deje $a=-\sum_{i=1}^{k-2}w_i^2$;
  ahora, por el lema anterior hay números naturales $n, m$ tal que $p\mid n^2+m^2-a$;
  ahora vamos a $w_{k-1}=n$$w_{k}=m$; por lo que hemos hecho!

• Si $p\nmid k+1$
  vamos $w_1=w_2=...=w_{k-3}=1$, $w_{k-2}=2$; y deje $a=-\sum_{i=1}^{k-2}w_i^2$;
  ahora, por el lema anterior hay números naturales $n, m$ tal que $p\mid n^2+m^2-a$;
  ahora vamos a $w_{k-1}=n$$w_{k}=m$; por lo que hemos hecho!

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Considerando el argumento descrito aquí la pregunta(I) se sigue inmediatamente de la pregunta(II).

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Al final para el caso de $k=2$, se puede elegir $p \overset{4}{\equiv}1$ arbitrarias;
y, de nuevo, existen enteros $m, n$ tal forma que: $$p \mid n^2+m^2; \qquad \qquad p\nmid n; \qquad \qquad p \nmid m. $$