Por qué hace la descomposición en factores de polinomios trabajo

Question

Me siento muy cómodo con las matemáticas GCSE , y quería ampliar y desarrollar mi comprensión de las matemáticas. Un tal cosa que estoy haciendo es tratar de entender por qué exactamente muchos de los principios básicos que he tomado para concedido trabajo. Ahora esta pregunta puede parecer muy obvia; por supuesto $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$.

Por qué se pueden factorizar polinomios en formas como $(x-a)...$

Answer 1

Yo recomiendo conseguir una copia de la primera edición de Hungerford del álgebra. Él realmente explica álgebra abstracta, comenzando con los números enteros: los números primos y la divisibilidad, entonces él va a entero polinomios, entonces él va y se va. Comienza con las ideas que los estudiantes de primaria a aprender (números primos) y habla acerca de por qué la única factorizations existen (Teorema Fundamental de la Aritmética), a continuación, muestra que el polinomio factorizations son básicamente los mismos. Un montón de ejemplos, muchos de los problemas, y realmente no se explica cómo funcionan las cosas (también la primera edición es muy barato... las ediciones posteriores de ir en él como el más moderno de los libros y de introducir a los grupos de la primera... pero Hungerford en la 1ª edición de la simple y fácil de entender los ejemplos y las ideas de los primeros... me acabo de enterar de que es mucho más fácil de aprender.). Me gusta mucho el libro. Algo muy útil que usted puede no haber pensado acerca de cómo ser capaz de factorizar un número como $21$ en números primos $3$ $7$ está relacionado a la factorización de un polinomio $x^2 + x - 6$ en pequeñas polinomios $x-2$ $x+3$ ... pero en realidad $x-2$ $x-3$ son polinomios irreducibles: realmente no se puede escribir como un producto de polinomios de menor, igual $3$ $7$ no puede ser escrito como el producto de números más pequeños (excepto el 1... pero lo mismo pasa con aquellos lineal de los polinomios, se puede escribir $x-2 = \frac{1}{2}(2x - 2)$... pero que realmente no hice nada especial, al igual que escribir $7 = 7 \times 1$ realmente no hice nada especial.)

Pero para responder a tu pregunta: polinomios no siempre puede ser factorizado. Considere la posibilidad de $x^2 + 1$. No puede ser factorizado porque si podría usted podría escribir como $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab,$ eso significaría que el $ab = 1$$a + b = 0$. Pero la solución para $b$ le da: $a = -b$, para conectar esta en la otra ecuación que relaciona la $a$ $b$ nos da: $$1 = ab = (-b)b = -b^2,$$ lo que significa que $b^2 = -1$. Así, dado que el cuadrado de cualquier número real es positivo o cero, vemos que no podemos factor.... utilizando sólo los números reales. Pero podemos usar los números complejos. Si $i = \sqrt{-1}$, $b = i$ $a = -i$ da una factorización: $$x^2 + 1 = (x+i)(x-i).$$

En general, si usted sabe que un polinomio $f(x)$ (que no es una constante) tiene una raíz $r$ ( $f(r) = 0$ ), $f$ puede ser factorizado como $f(x) = (x-r)q(x),$ donde $q$ es otro polinomio de grado uno más pequeño que $f$. Por lo tanto, si sabemos que cada polinomio que no es una constante, tiene una raíz, o bien estamos hecho y $q$ es una constante o $q$ no es una constante, entonces hay una raíz $r'$$q(x)$, lo $q(x) = (x-r')q'(x)$ para algunos polinomio $q'(x)$ de grado uno menos que $q(x)$. Así, podemos escribir $f(x) = (x-r)(x-r')q'(x)$... y podemos mantener el factoring.

Así, los números complejos tienen la propiedad de que cada polinomio tiene una raíz. (Este es un profundo resultado, llamado el Teorema Fundamental del Álgebra) por Lo tanto, esto significa que cualquier polinomio con coeficientes reales se puede tener en cuenta el uso de los números complejos. Si usted sólo quiere factor con coeficientes reales, entonces usted no puede siempre factor, pero puedes factor en cuadráticas y lineales términos. E. g. $$x^4-1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x+1)(x-1)(x^2 + 1).$$ La razón es que cada impar de grado del polinomio con coeficientes reales tiene una raíz real por el teorema del valor intermedio, por lo que siempre puedo factor impar polinomio $f(x)$$(x-r)q(x)$, pero $q(x)$ es aún y yo no podría ser capaz de factor. (Otro ejemplo es $f(x) = x^5 - x^4 + x - 1 = (x-1)(x^4 + 1)$)

Answer 2

Como estoy seguro de que eres consciente, puede representar un polinomio como $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots$ o $p(x)=(x-r_1)(x-r_2)\ldots$ donde cada una de las $r_k$ es una raíz de $p(x)$. En otras palabras, como una suma de potencias de $x$, o como un producto de las raíces.

Así que, en mi opinión, hay un par de preguntas interesantes aquí, enumerados en orden de dificultad.

1. ¿Por qué se $r_k$ raíces de $p(x)$?
2. ¿Por qué escribimos $p(x)$ como un producto y una suma, simultáneamente?
3. Son el producto y la suma de las fórmulas de la igualdad?
4. Podemos escribir cada polinomio como un producto de las raíces?

$r_k$ son raíces de $p(x)$

Empezando con una fácil, cada una de las $r_k$ debe ser una raíz de $(x-r_1)(x-r_2)\ldots$ dado que se puede sustituir en $r_k$ y encontrar que uno de los términos entre corchetes se $(r_k-r_k)=0$, de modo que toda la expresión debe ser $0$. Por lo tanto, cada una de las $r_k$ es una raíz de $p(x)$.

$p(x)$ puede ser expresado como producto y como una suma

Se demuestra de esta manera algebraica multiplicando todos los factores. Note que al multiplicar todo, hemos de elegir bien $x$ o $r_k$ de cada soporte. Así que un término será el producto de $x$, un plazo serán sólo $r_k$, y todas las demás combinaciones entre estos.

$$\begin{aligned}(x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_n) &=(\underbrace{x\times x\ldots}_n)+\ldots+(-1)^n(r_1r_2\ldots r_n) \\&=x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_1x+b_0\end{aligned}$$

En donde, cada una de las $b_k$ es una constante, hecho de una combinación de $r_k$. Así que ahora, tenemos una representación de $p(x)$ como una suma de potencias de $x$, como se desee. De hecho, el valor de cada coeficiente, $b_k$, está dada por Vietas Fórmulas. Usted puede preguntar por qué no hay ningún coeficiente, $b_k$$x^n$; es que es más fácil de leer esta manera, pero usted podría multiplicar ambos lados por $b_k$.

El producto y la suma de las fórmulas son las mismas: $\sum a_kx^k=\prod(x-r_k)$ (Igualación de coeficientes polinomiales)

Sabemos que $p(x)=a_0+a_1x+\ldots$, pero hemos demostrado que $p(x)=b_0+b_1x+\ldots$. Para mí, la siguiente pregunta que me gustaría plantear es si $a_k$ $b_k$ son los mismos coeficientes. Seguro, que hemos demostrado que el polinomio es igual a una suma de potencias de $x$ pero es el único posible de la suma?

Bien para nuestra primera representación, $p(0)=a_0$ y en la segunda representación, $p(0)=b_0$. Por lo $p(0)=a_0=b_0$, por lo que podemos restar $a_0$ o $b_0$ de cada representación, la división a través de por $x$ a ver que $a_1+a_2x+\ldots=b_1+b_2x+\ldots$. Así entonces, podemos sustituir el $x=0$ nuevo para ver que $a_1=b_1$. Podemos repetir este método a ver que cada una de las $a_k=b_k$, por lo que las dos representaciones son idénticos.

Esto significa que nuestro producto es exactamente lo mismo como la suma de $a_0+a_1x+\ldots$. Así que también podría haber sido al revés, y factorizados $a_0+a_1x+\ldots$ a $(x-r_1)(x-r_2)\ldots$, lo que puede responder a su pregunta. Pero todo esto es suponiendo que esas raíces existen en la realidad. ¿Cómo sabemos que hacer?

Polinomios de grado $n$, tienen exactamente $n$ raíces complejas

Esta es la parte más difícil de probar y me imagino que es lo que más les interesa. ¿Por qué es válido decir que el $p(x)=(x-r_1)(x-r_2)\ldots$? ¿Por qué debería de $p(x)$ tiene raíces, de todos modos? Hemos asumido que hizo, pero no nos lo demuestran.

Como @flawr y @user357980 han señalado, lo que estamos buscando ahora es el Teorema Fundamental del Álgebra. Este teorema nos dice que todos los $n$th grado del polinomio, ha $n$ raíces.*

Lo que tenemos que tener en cuenta es que las raíces del polinomio pueden ser Números Complejos. Podríamos tener un polinomio como $p(x)=x^2+1$, donde el camino a la factorise es como $p(x)=(x+i)(x-i)$. Sin embargo, a pesar de que puede tener el uso de números complejos, este teorema nos da el conocimiento que se puede factorizar polinomios.

Por favor, hágamelo saber si usted piensa que he cometido algún error.

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* Para ser más precisos, los polinomios deben ser no=constante y con coeficientes y raíces en $\mathbb{C}$

Answer 3

Usted no puede cada factor (real) el polinomio a (real) lineal factores, por ejemplo, $x^2+1$ no puede ser un factor más. Con el fin de factor de uno lineal factor, usted necesita tener un grado 3. Pero en los números complejos se puede - de hecho usted puede, por definición, como la de los números complejos, en cierto sentido, se definen los números de tal manera que todos los polinomios pueden ser un factor en el lineal de los polinomios. Este es el Teorema Fundamental del Álgebra.

Con el fin de entender más acerca de esto, recomiendo la lectura de los números complejos y la forma de calcular con ellos para conseguir una sensación, entonces recomiendo trabajar a través de algunos de álgebra libro. Me gusta recomendar "Álgebra" de Michael Artin.