¿Qué pasa si la base no contable, entonces ¿qué?

Question

Estoy en segundo año de física y matemáticas del estudiante, y de auto-estudio de Resumen de álgebra lineal desde el libro de Álgebra Lineal por Werner Greub.

En la media hora que me he encontrado varias veces a la noción de contables .Sé lo que puede o no puede hacer si un conjunto es contable/incontable, pero mientras estudiaba álgebra lineal I no saben exactamente lo que yo no podía hacer si la base de que el espacio no está contables ?

Yo generalmente trabajado bien en abstracto (finito / infinito) espacios o finito de espacios abstractos, y mientras que en el caso en abstracto, nunca hemos asumido que la base es contable, por lo que no estoy seguro de lo que iba a perder si tengo un espacio de dimensión infinita cuya base es incontable.

tl;dr

Si tenemos una base que no es contable, entonces, que las propiedades de ser perdido o ganado en comparación con un infinito espacio tridimensional tener contables.

Answer 1

Para un infinito dimensional espacio vectorial debemos distinguir la forma de una Hamel (algebraica) de base y una base de Schauder.

El primer concepto se define para cualquier espacio vectorial y el axioma de elección garantiza que cualquier espacio vectorial tiene una base de Hamel, pero esta base no puede ser contable.

En tales condiciones, cualquier vector se puede expresar como combinación lineal finita de elementos de la base.

El caso más sencillo es el espacio de los números reales $\mathbb {R}$ considerado como espacio vectorial sobre los racionales $\mathbb{Q}$ que tiene una infinita no contables. En este caso no podemos tener una "construcción" que enumerar todos los elementos de la base.

Una base de Schauder puede ser definido sólo para un espacio vectorial topológico, donde podemos definir la convergencia de una serie. En este caso, un vector puede ser expresado como una serie ( un "infinito" combinación lineal) de los elementos de la base de Schauder.

Un ejemplo simple de un espacio que no contables Hamel y contables de Schauder base es el espacio de las funciones $L^p[0,\pi]$ $\mathbb{C}$ en el conjunto de las funciones de $\{e^{nix}\: n \in \mathbb{Z}\}$ es una base de Schauder.