La prueba de que el cuadrado de un número impar es de la forma $8m+1$ para algunos enteros $m$

Question

Muestra que $n$ es impar $ \rightarrow \exists m \in \mathbb Z,n^2 = 8m + 1$

Deje que $k$ ser un número entero para que $n = 2k+1$ . Luego $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2 \left (2k^2+2k \right ) + 1$ .

Pero esto no es igual a $8m+1$ así que ¿puedo cambiar eso en $4(2m)+1$ ?

Answer 1

$$n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 4k(k+1)+1$$

Al menos uno de $k$ y $k+1$ es divisible por $2$ Así pues, dejemos que $k(k+1)=2m$ . Entonces, $n^2 = 4(2m)+1 = 8m+1$ .

Answer 2

Bien, nosotros quiere $4k^2 + 4k + 1 = 8m + 1$ por lo que quiere $m = \frac {4k^2 + 4k}8=\frac {k^2+k}2$

Así que tenemos que demostrar que $k^2 + k$ es uniforme. ¿Puedes hacer eso?