¿Por qué es el wavefunction de impulso-espacio para una partícula libre no una función del tiempo?

Question

Supongamos que el inicial de la función de onda de una partícula libre es dado por $\psi(x,0)$. Ahora a ver cómo la función de onda evoluciona con el tiempo por lo general hacemos la transformada de Fourier de la función de onda en $t=0$.

La transformada de Fourier está dada por $\phi(k)$ y la dependencia del tiempo de la función de onda está dada por $$\int_{-\infty}^{\infty} \phi(k)\exp\biggl(ikx-\frac{ihk^2t}{4m\pi}\biggr)\mathrm{d}k$$ donde $k$ está dado por $$k=\frac{\sqrt{2mE}}{h/2\pi}$$ Este es el procedimiento que se da en la Griffiths' la mecánica cuántica, 2ª edición. Ahora mi pregunta es ¿por qué la amplitud correspondiente a $k$, $\phi(k)$, es sólo una función de $k$, no el tiempo, yo.e, $\phi(k,t)$?

La instrucción dada en el libro es,

$$\Psi(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(k) e^{i\bigl(kx - \frac{\hbar k^2}{2m}t\bigr)}\mathrm{d}k$$

Por qué no es $\phi(k,t)$?

Answer 1

El Fourier transforma $\phi(k)$ es una función sólo de $k$ y no del tiempo ya que indica la amplitud de cada onda de plano que componen la función de onda.

Las amplitudes se conservan en el tiempo, porque las ondas de plano lineales superponen entre ellas y no interactúan.

La evolución en el tiempo así que no es en el % de amplitudes $\phi(k)$, pero se puede observar cómo evoluciona cada onda de plano y sumar otra vez las evolucionadas con el anterior amplitudes $\phi(k)$

Answer 2

Tiempo de evolución de la mecánica cuántica se hace generalmente con el llamado tiempo de evolución de operador, $$ U(t_f,t_i)=\text{e}^{-\text{i}H(t_f-t_i)/\manejadores}, $$ de tal manera que, cuando se aplica sobre una función de onda en el tiempo inicial $t=t_i$, $$ U(t_f,t_i)\, \psi(x,t_i) = \psi(x, t_f), $$ la función de onda en el tiempo final $t=t_f$ sigue. Para una partícula libre, el Hamiltoniano lee, $$ H=\frac{p^2}{2m}, $$ así, obtenemos la función de onda para $t=t_f$ si dejamos $H$ actuar en $\psi(x)$. Antes de que podamos hacer eso, tenemos que expresar $p$ derivada de su actuación en $x$, $$ p=\manejadores k \\text{i}\manejadores \partial_x\quad\Rightarrow\quad H=-\frac{\manejadores^2}{2m}\partial_x^2 $$ (nota:$\partial_x \equiv \tfrac{\partial}{\partial x}$) por lo que escribimos, $$ \psi(x, t_f) = \text{e}^{\text{i}\frac{\manejadores}{2m}\partial_x^2(t_f-t_i)}\, \psi(x,t_i). $$ De acuerdo a su pregunta, vamos a utilizar $t_i=0$$t_f=t$: $$ \psi(x, t) = \text{e}^{\text{i}\frac{\manejadores}{2m}\partial_x^2t}\, \psi(x, 0). $$ No estoy exactamente seguro de por qué, pero en fin para que coincida con su imagen, ahora vamos a hacer una transformada de Fourier en la parte inicial de la función de onda, $$ \psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{ikx}\, \phi(k). $$ Con esto, llegamos a la ecuación $$ \begin{align*} \psi(x, t) &= \text{e}^{\text{i}\frac{\hbar}{2m}\partial_x^2 t} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{ikx}\, \phi(k)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{\text{i}\frac{\hbar}{2m}\partial_x^2 t} \text{e}^{ikx}\, \phi(k)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{\text{i}\frac{\hbar}{2m}(\text ik)^2 t} \text{e}^{ikx}\, \phi(k)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{-\text{i}\frac{\hbar k^2}{2m} t} \text{e}^{ikx}\, \phi(k)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^\infty \text{d}k\, \text{e}^{i\left( kx -\frac{\hbar k^2}{2m}t\right)}\, \phi(k). \end{align*} $$ La tercera igualdad de la siguiente manera por implícita una expansión de Taylor y dejar que cada poder de la $\partial_x$ actuar en $\text e^{\text ikx}$, véase, por ejemplo, aquí o aquí para más detalles.

Así que, para responder a su pregunta: $\phi(k)$ es sólo una función de $k$, porque hicimos la transformada de Fourier sólo en $\psi(x)$. Si fuéramos a hacer una transformada de Fourier en $\psi(x,t)$, tendríamos un $\phi(k,\omega)$.

Answer 3

No es una función de tiempo porque el tiempo es una dimensión independiente sin relación a las partículas en el espacio: partículas no necesariamente viajan en el tiempo, ya que no existe ningún marco de referencia absoluta o relativa incluso para ellos que se medirá contra (a menos que usted ponerlo allí, como un acelerador de partículas, por ejemplo).