¿Es el complemento de un sistema contable en $\mathbb{R}$ denso? Aplicación a la convergencia de funciones de distribución de probabilidad.

Question

Me pregunto si tenemos un conjunto $A\in\mathbb{R}$ que es contable, si $A^{c}$ es denso en $\mathbb{R}$? Pensé que vi a esta cita en algún lugar en google, pero no puedo encontrar de nuevo! Estoy trabajando a través de una prueba relativa a la unicidad de la debilidad de los límites de las secuencias de las funciones de distribución. El conjunto de puntos de discontinuidad de las funciones de distribución son contables, y la prueba sugiere que el complemento de este conjunto es denso en $\mathbb{R}$, y estoy seguro de cómo esta conclusión se llega.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Sí. Supongo que lo no es: entonces existe un no vacío abierto conjunto $U$ $\mathbb{R}$ que no conoce a $A^C$. Así $(A^C)^C = A$ contiene un intervalo abierto no vacío, y como intervalo abierto está en biyección con $\mathbb{R}$, $A$ no es contable.

Answer 2

Que $a\in \Bbb R$ y $U$ es un conjunto abierto que contiene $a$. Luego ya $U$ contiene uncountably muchos puntos en $\Bbb R$ y $A$ contable, $U\setminus A$ es incontable y así contiene puntos de $A^C$ $a$ distinto. Sigue que $a$ es en el cierre de $A^C$. Como un punto arbitrario en $a$ $\Bbb R$, se deduce que el % es denso en $A^C$ $\Bbb R$.