Definición de variedad algebraica

Question

En general, la definición de una expresión algebraica variedad difiere de una referencia a otra. La definición que yo estaba acostumbrado a considerar una variedad algebraica como parte integrante del plan de finito tipo. Sin embargo esta definición difiere de la que en el libro de Masayoshi Miyanishi ("la Geometría Algebraica", en la página 89).

El autor define una variedad algebraica sobre un campo $k$ integral $k$- $X$ (esto significa que no existe un cuasi-compacto localmente finito generado morfismos $f: X \longrightarrow Spec(k)$) finito de tipo tal que el cambio de base por $\overline{k}$ ( $X_{\overline{k}} =X \times_{Spec(k)} Spec(\overline{k})$) es integrante de finito tipo y la estructura de morfismos es una $f: X \longrightarrow Spec(k)$ separados de morfismos ($\Delta_{X/Spec(k)}: X \longrightarrow X \times_{Spec(k)} X$ es un cerrado de inmersión).

Podría por favor alguien que explica por qué hay estas suposiciones adicionales en la definición anterior? El autor sólo se explica brevemente (en la página 92) ¿por qué la separación es útil en este caso (él dice que $f$ estar separados es equivalente a dos especializaciones de un punto a lo largo de un anillo de valoración $\mathscr{O}$ coinciden en el supuesto de que la inducida por morfismos $k(x) \longrightarrow Q(\mathscr{O})$ son idénticas), sin embargo yo no entendía esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Deje $X$ ser integral y finito de tipo más de $k$. Entonces tenemos dos supuestos adicionales:

• $X$ separados. Esto es necesario en algunos teoremas, en la misma vena que algunos teoremas sobre espacios topológicos necesidad de la Hausdorff separación axioma. Las variedades son siempre separados. Tenga en cuenta que el encolado de dos copias de $\mathbb{A}^1$$\mathbb{A}^1 \setminus \{0\}$, es decir, afín a la línea con doble origen, no está separado, pero es finito tipo e integral.

• $X$ es geométricamente integral, es decir, $X \otimes_k \overline{k}$ es integral. Básicamente esto es necesario con el fin de reducir todo para el caso de algebraicamente cerrado campos. Por ejemplo, si $X,Y$ son geométricamente integeral, a continuación, $X \times_k Y$ es geométricamente integral. Pero esto no hace que no se mantenga sólo para la integral, es decir, que realmente necesita el cambio de base a la algebraicas cierre de aquí. Por ejemplo, $\mathrm{Spec}(\mathbb{C}) \times_{\mathbb{R}} \mathrm{Spec}(\mathbb{C}) \cong \mathrm{Spec}(\mathbb{C}) \sqcup \mathrm{Spec}(\mathbb{C})$ es reducible. De nuevo, algunos teoremas sólo trabajo para geométricamente integral variedades, es por eso que muchos autores incluyen en la definición. Acabamos de ver que $\mathrm{Spec}(\mathbb{C})$ no es geométricamente integral sobre la $\mathbb{R}$. Observe que $\mathbb{A}^n_k$ $\mathbb{P}^n_k$ son geométricamente integral.