Voy a discutir aquí la diferencia entre el pointwise de control de la curva producida por su instalación, y el control continuo de la baristocrone problema, y de ignorar la diferencia entre 'rodando' y 'deslizamiento', que es independiente de la cuestión. Esta respuesta también se explica cómo el límite de la pendiente y la extensión vertical de la solución. Yo no se soluciona el problema, sólo delinear el enfoque iba a tomar.
La diferencia fundamental entre pointwise de control y el control continuo es la función del espacio que está siendo intervenido.
Supongamos que estamos utilizando una horizontal coordenada espacial $x$$a<x<b$, objeto viaja de $a$$b$. En el estándar baristocrone problema consideramos que la "altura" de la función de la superficie a 'slide', $h(x)$, para ser continuamente una función derivable (excepto en los extremos), con $h(a)=0$, $h(b) = H<0$, $h(x) \leq 0$. A continuación definimos algunos funcional, decir $T[h]$, en este espacio, que genera el tiempo de la diapositiva de$x=a$$x=b$. La solución final se encuentra por minimizar $T$ sobre el espacio de vanos $h$.
La diferencia que tiene es que permite reducir la dimensionalidad de su función de espacio, sin embargo, muchos modificación de puntos que tiene. Esto reduce su control, pero lo hace mucho más fácil imponer restricciones como pendiente limitada y extensión vertical. Dado $n$ ajustable puntos equidistantes en
$$
x_i = a + i\frac{b}{n+1} \quad i \in \{1,2,...,n\}
$$
y dos fijas en los extremos $x_0=a$, $x_{n+1} =b$, definimos las funciones de $h(x;h_1,h_2,...,h_n)$ tal que
$$
h(x_i;h_1,h_2,...,h_n) = h_i \quad i \in \{1,2,...,n\}
$$
$$
h(a;h_1,h_2,...,h_n) = 0
$$
$$
h(b;h_1,h_2,...,h_n) = H
$$
de modo que la altura debe tener un dado, el valor especificado en el ajuste de los puntos, y el extremo correcto de los valores en los extremos. Tenemos que decidir ahora cómo construir los valores de la altura de la función entre los puntos ajustable. La forma más sencilla es decidir que la función es lineal entre 2 ajustable/puntos finales, que le dará una aproximación razonable. Sin embargo, su probablemente el uso de algún tipo de 'rayo' en el que caso de que el uso, por ejemplo, este. O podría utilizar polinomios de orden superior con la continuidad de los derivados.
Si queremos limitar la pendiente, entonces esto corresponde a una restricción
$$
|h_{i+1} - h_{i}| \leq \Delta h
$$
y si queremos limitar la extensión vertical, a continuación, corresponde a
$$
h_i \geq h_{min}
$$
al menos por un modelo lineal por tramos $h$, para una más complicada la construcción de este será más difícil.
Por último, tenemos que encontrar el tiempo de viaje para un determinado $h$. Para una construcción particular, el tiempo que toma sólo puede ser una función de las alturas ajustables, así
$$
T[h]=t(h_1,h_2,...,h_n)
$$
para encontrar los valores óptimos de $h_i$, minimizar $t$ sobre el permisibles de valores. La búsqueda de la función $t$ equivale a calcular el tiempo para moverse entre dos puntos ajustable, y la búsqueda de la velocidad a la que pasa por encima de la siguiente ajustable de punto, de modo que el tiempo tomado a través de la siguiente sección puede ser calculado. Una vez que se conoce la función y las restricciones, esto puede posiblemente ser resueltos analíticamente, pero lo más probable es que usted va a necesitar algún procedimiento numérico, dicen que resolver en matlab.
Si en realidad no tienen un número finito de puntos ajustable, este procedimiento puede ser utilizado, ya que la solución a medida que el número de puntos tiende a infinito, será la correcta solución, para resolver numéricamente con un centenar de puntos ajustable.
