5 puntos móviles en el plano, uno va al infinito

Question

Supongamos que tenemos $5$ puntos en el plano, cada uno situado sobre una recta para la cual ninguna de estas tres rectas se intersecan en un punto, y tampoco ninguna de estas $5$ es un punto de intersección de dos rectas. En el momento $t=0$ cada uno de los puntos comienza a moverse sobre su propia línea en una dirección arbitraria y con una velocidad positiva arbitraria pero constante. Cada punto sigue avanzando a menos que se encuentre con otro punto. Cuando es así, los dos puntos invierten sus direcciones y vuelven por donde han venido. Demuestra que después de un tiempo finito $T$ uno de los puntos nunca se encontrará con más puntos.

Este problema me surgió hace unas semanas. Estuve dándole vueltas durante mucho tiempo, pero no conseguía llegar a nada. ¡Todas las respuestas son bienvenidas!

Answer 1

Por si a alguien le sirve de ayuda. Que una "configuración" inicial esté asociada a un $n \times n$ matriz $M$ ( $n=5$ en la pregunta original), con valores enteros, con marcadores de posición ficticios en la diagonal, y de tal forma que cada fila contenga valores diferentes, no todos negativos o positivos. Partiendo de una configuración inicial, cada iteración hace lo siguiente:

• disminuir todos los valores en uno $m_{i,j} := m_{i,j}-1$ ( $i\ne j$ )
• buscar pares de ceros simétricos ( $m_{i,j}=m_{j,i}=0$ ) y negar cada fila correspondiente: $m_{i,k} := - m_{i,k}$ $m_{j,k} := - m_{j,k}$

Este procedimiento producirá finalmente alguna fila totalmente negativa ("el punto se ha escapado"), o se repetirá en un ciclo. La conjetura sería que con $n=5$ ( quizás para todos los impar $n$ ?) no puede haber tal ciclo.

Este modelo es ligeramente más general (y por lo tanto la conjetura de imposibilidad es más fuerte) que el problema original ( $m_{i,j}$ representa la distancia desde el punto $i$ a la línea del punto $j$ positivo si se acerca) porque no tiene en cuenta las restricciones de tener los puntos a lo largo de rectas.

Answer 2

Descargo de responsabilidad: Esto no responde a la pregunta original, ya que pasé por alto un supuesto crucial. No creo que sea una razón válida para borrarlo, esta respuesta probablemente no haga daño. No obstante, por favor, no vote a favor ;)

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Como se solicita en los comentarios, presento la construcción de $7$ puntos en una configuración periódica, con cada punto moviéndose a velocidad $1$ .

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Para empezar, imaginemos que existe un punto $A$ y una pelota (mi nombre para el punto, para evitar confusiones) $x$ de forma que se garantice que si $x$ llega a $A$ y colisiona con otra bola, entonces volverá a $A$ después de un tiempo determinado (digamos, $\Delta t =1$ ). Entonces podemos construir una configuración periódica con tres puntos adicionales, como sigue:

Elegir puntos $B,C$ de modo que el triángulo $ABC$ es equilátero con longitud de arista $1$ . Supongamos que $x$ está a punto de alcanzar $A$ a la vez $t=0$ . En el momento $t=-0.5$ , colocar bolas $a,b,c$ en los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente, con $a,b$ dirigido a $C$ y $c$ dirigido a $A$ . En el momento $t = 0$ tenemos dos colisiones: $c,x$ en $A$ y $b,a$ en $C$ . Como se supone, en $t=1$ la pelota $x$ volverá a $A$ . En el momento $t=0.5$ todos $a,b,c$ están en los puntos medios de los lados apropiados, con $a,c$ avanzando hacia $B$ , $b$ avanzando hacia $A$ y es $0.5$ tiempo hasta $x$ llega a $A$ --- por lo que es exactamente el mismo que en $t=-0.5$ hasta el reetiquetado. Así, las bolas seguirán moviéndose así indefinidamente.

Para construir la configuración de $7$ bolas, sólo toma dos triángulos equiláteros $ABC$ , $A'B'C'$ con longitudes laterales $1$ nad $\lvert A A' \rvert = 0.5$ Coloca una bola $x$ con velocidad $1$ entre $AA'$ y repite la construcción anterior para $A$ y $A'$ .

Por ejemplo, en $t= -0.5$ podría darse el caso de que $x$ y $b'$ están en $A'$ , $x$ trasladándose a $A'$ y $b'$ trasladándose a $C'$ ; $a'$ y $c'$ están en $B$ , $a'$ trasladándose a $B'$ y $c'$ trasladándose a $B'$ ; $a,b,c$ están en los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente, con $a,b$ trasladándose a $C$ y $c$ trasladándose a $A$ .

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Esta construcción puede utilizarse directamente para proporcionar ejemplos para cualquier número impar no inferior a $11$ : basta con añadir un $2k$ -elemento ciclo periódico insinuado en los comentarios. Lamentablemente, esto no funciona con $9$ bolas, pero creo que la idea anterior se puede ampliar para trabajar para $9$ bolas también. Creo que debería ser posible encontrar una configuración periódica con $5$ bolas + bola extra, y luego usarlo para construir una configuración periódica con un tringulo conectado a un pentágono (de la misma manera que el anterior era un triángulo conectado a otro triángulo).

Creo que lo anterior demuestra que, si no hay una configuración periódica con $5$ bolas, entonces es un caso bastante especial y una peculiaridad del número $5$ - no es una propiedad general de los números Impares.