Calcula: $\lim_{n \rightarrow\infty}\left(\frac{3^{-n}\sin(3^{(1-n)})}{\tan(3^{1-2n})} \right)$

Question

¿Cómo calcular el límite siguiente sin utilizar la regla de L'Hospital?

$$\lim_{n \rightarrow\infty}\left(\frac{3^{-n}\sin(3^{(1-n)})}{\tan(3^{1-2n})} \right)$$

Answer 1

Reescribe la expresión como $$\dfrac{3^{-n}\sin(3^{1-n})}{\tan(3^{1-2n})} = \dfrac{\sin(3^{1-n})}{3^{1-n}} \cdot \dfrac{3^{1-2n}}{\tan(3^{1-2n})}$$ y nota que $3^{1-n} \to 0$ y $3^{1-2n} \to 0$ como $n \to \infty$ . Ahora aprovecha el hecho de que $$\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}x = 1 = \displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{\tan(y)}y$$

Answer 2

Poniendo $h=3^{-n}$

Como $n\to \infty \implies h\to 0$

y $3^{1-n}=3\cdot3^{-n}=3h ; 3^{1-2n}=3\cdot(3^{-n})^2=3h^2$

$$\lim_{n \rightarrow\infty}\left(\frac{3^{-n}\sin(3^{(1-n)})}{\tan(3^{1-2n})} \right)$$

$$=\lim_{h \rightarrow0}\left(\frac{h \sin(3h)}{\tan(3h^2)} \right)$$

$$=\left(\lim_{h \rightarrow0}\frac{\sin3h}{3h}\right)\cdot\left(\lim_{h \rightarrow0}\frac{3h^2}{\sin3h^2}\right)\cdot \left(\lim_{h \rightarrow0}\cos(3h^2)\right) $$

$$=1$$

Answer 3

Sugerencia: Utiliza el hecho de que si $\alpha(x)\sim 0$ (quiero decir que es muy pequeño) cuando $x\to 0$ entonces $$\sin(\alpha(x))\sim \alpha(x)$$ y $$\tan(\alpha(x))\sim \alpha(x)$$