Construir un grupo infinito $G$ y un subgrupo apropiado $G'$, tal que la Unión de todo el grupo conjugado del subgrupo puede cubrir $G$, es decir, $\forall g \in G$, $\exists h\in G,g'\in G'$, s.t. $h^{-1}g'h=g$.
Es aquí mis pensamientos: $G$ debe ser no-abelian, $G$ puede ser construido como la multiplicación de la matriz o el grupo de permutación infinita. Sin embargo, me he pegado aquí porque no puedo conseguir el subgrupo y probar la cubierta.
¡Gracias por tu ayuda!
Equivalentemente, desea $G$ a ser la unión de los conjugados de la $H$$G$. Esto es equivalente a decir que, en la permutación de acción de $G$ mediante la multiplicación por el (la izquierda o la derecha, lo que usted prefiera) cosets de $H$, sin elementos de $G$ ley de punto fijo-libre.
Por lo que estamos buscando transitivo grupo $G$ de permutaciones de un conjunto infinito sin punto fijo-libre de elementos. Entonces podemos tomar la $H$ a ser el estabilizador de un punto. Cómo acerca de la toma de todas las permutaciones de un conjunto infinito que se mueven sólo un número finito de puntos?
Lo siento acerca de mi respuesta anterior, no acababa de pensar a través de ella. He aquí un ejemplo claro:
Deje $G = S_\infty = \bigcup_nS_n$. Esto significa $G$ es el conjunto de permutaciones $\sigma\colon\mathbb{N \to N}$ con la propiedad de que existe un $N_\sigma$ tal que $\sigma(n) = n$ todos los $n \geq N_\sigma$.
Deje $G' \subseteq G$ el conjunto de $\sigma$ satisfacción $\sigma(1) = 1$. Esto es claramente correcta.
Ahora vamos a $\sigma \in G$ ser un elemento arbitrario. Deje $h = (1 \ N_\sigma)$ ser la permutación de swaps $1$ $N_\sigma$ (lo cual es un punto fijo de $\sigma$). A continuación, $h\sigma h^{-1}$ corrige $1$ y, por tanto, está contenida en $G'$.
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