$ \int^{\infty}_0 |\frac{1}{(1+x)\sqrt x}|^p ~ \mathrm dx < \infty \implies p=?$

Question

Si $ f(x) = \frac{1}{(1+x)\sqrt x} $ cómo encontrar todas las $ p > 0 $, que $$ \int^{\infty}_0 |f(x)|^p dx < \infty $ $ es el integral con respecto a la medida de lebesgue. Cualquier solución o sugerencias sería útiles. La respuesta es que el integral converge iff $ p\in (\frac{2}{3}, 2) $.

Answer 1

$+\infty$, Tienes $$ | f (x) | ^ p\sim \frac{1}{x^{3p/2}} $ que converge si y sólo si $3p/2>1$.

$0$, $$ | F (x) | ^ p\sim\frac {1} {x ^ {p/2}} $ que converge si y sólo si $p/2<1$.

Por lo que la integral converge si y sólo si \frac{2}{3 $$} < p < 2. $$

Answer 2

Sugerencia: Desde $$\int_0^{\infty} f(x)^p dx =\int_0^1 f(x)^p dx+\int_1^{\infty} f(x)^p dx$ $

Así que si $0<p<1$, podemos solamente considerar la integral $\int_1^{\infty} f(x)^p dx$ y $$\int_1^{\infty} f(x)^p dx < \int_1^\infty \left(\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)^p dx$ $

Y $$\int_1^\infty f(x)^p dx > \int_1^\infty \frac{1}{(1+x)^{3p/2}} dx .$ $

Answer 3

Utilizando el cambio de variables $ z=\frac{1}{1+x} $ y la función beta

$$ \beta(x,y) = \int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt,\quad Re(x),\,Re(y)>0, $$

Tenemos

$$ \int_{0}^{\infty} \frac {1}{(1+x)^p x^{\frac{p}{2}}} dx = \int _{0}^{1}\! \left( 1-z \right) ^{-\frac{p}{2}}{z}^{\frac{3p}{2}-2}{dz}.$$

Comparando con las condiciones de existencia de la función beta implica que

$$ 1-\frac{p}{2}>0,\quad\frac{3p}{2}-1 > 0. $$

Resolver las dos desigualdades da el resultado deseado.