Corrección de Higgs masa uno lazo

Question

Estoy tratando de calcular la corrección de bucle a la masa del Higgs, que requiere la evaluación de una dispersión de amplitud, es decir,

$$\require{cancel} \mathcal{M} = (-)N_f \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4} \mathrm{Tr} \, \left[ \left( \frac{i\lambda_f}{\sqrt{2}}\right) \frac{i}{\cancel{k}-m_f} \left( \frac{i\lambda_f}{\sqrt{2}} \right) \frac{i}{\cancel{k} + \cancel{p}-m_f}\right]$$

que corresponde al diagrama de Feynman:

Después de la combinación de constantes, y racionalizar los denominadores, puedo obtener,

$$-\frac{N_f \lambda_f^2}{2} \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4} \frac{\mathrm{Tr}\left[ \cancel{k}\cancel{k} + \cancel{k}\cancel{p} +2m_f \cancel{k} + m_f \cancel{p} + m_f^2\right]}{\left(k^2-m_f^2\right)\left((k+p)^2 -m_f^2 \right)}$$

Computación huellas, a través de la relación $\mathrm{Tr}[\cancel{a}\cancel{b}] = 4(a\cdot b)$ rendimientos,

$$-2N_f \lambda_f^2 \int \frac{\mathrm{d}^4 k}{(2\pi)^4} \frac{k^2 +k\cdot p + m_f^2}{\left(k^2-m_f^2\right)\left((k+p)^2 -m_f^2 \right)}$$

En este punto, me empleado dimensiones de la regularización, seguido por Feynman reparametrization combinar los denominadores, y luego completó la plaza, dando

$$-\frac{2^{2-d}\pi^{-d/2}}{\Gamma (d/2)}N_f \lambda_f^2 \int_{0}^1 \mathrm{d}x \int_0^\infty \mathrm{d}k \frac{k^{d-1}(k^2 +kp + m_f^2)}{\left[ \left(k-(x-1)p\right)^2 +p^2(x-x^2 -1)\right]^2}$$

Cálculos Adicionales (Edit)

He tratado de simplificar aún más el integrando el uso de una sustitución en sólo la primera integral, es decir,$\ell = k-(1-x)p$, lo que implica $\mathrm{d}\ell = \mathrm{d}k$, lo que da (después de varias manipulaciones),

$$-\frac{2^{2-d}\pi^{-d/2}}{\Gamma(d/2)}N_f \lambda_f^2 \int_0^1 \mathrm{d}x \, \int_{(x-1)p}^{\infty} \mathrm{d}\ell \frac{(\ell + (1-x)p)^{d-1}[(\ell + \frac{1}{2}p(3-2x))^2 - \frac{1}{4}p^2 + m_f^2]}{[\ell^2 + p^2(x-x^2-1)]^2}$$

N. B. Mathematica evaluó el original de la integral sobre la $k$, y se obtienen de la combinación de la primera Appell hipergeométrica de la serie, que poseen la representación integral,

$$F_1(a,b_1,b_2,c;x,y) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)} \int_0^1 \mathrm{d}t \, t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-xt)^{-b_1}(1-yt)^{-b_2}$$

con $\Re c >\Re a >0$, que tiene una estructura similar a la función beta. Si puedo expresar el bucle integral en una forma similar, yo podría ser capaz de expresarse en términos de estas funciones. Al final del cálculo, voy a tomar la $d \to 4-\epsilon$ para obtener los polos en $\epsilon$, el uso de la costumbre de expansión

$$\Gamma(x) = \frac{1}{x} -\gamma + \mathcal{O}(x)$$

y una expansión similar debe a la respuesta final, de hecho, contienen la Appell hipergeométrica de la serie.

Passarino-Veltmann Reducción De La (Edición):

Basado en mi entendimiento de Veltmann-Passarino reducción, no es aplicable ya que el numerador contiene un poder arbitrario de bucle de impulso. Me podría conectar $d=4$, e imponer un alto el impulso de cortar, pero esto ya se ha hecho en muchos textos. Como se ha mencionado anteriormente, me gustaría un dimensionalmente regularización de la amplitud.

Estoy atascado en este punto, ¿alguien puede dar algunos detalles en cuanto a cómo proceder? Además, tengo una consulta sobre el problema de la jerarquía. Si el uso de un simple corte de regularización, la corrección de bucle puede ser demostrado ser cuadráticamente divergentes. Pero, ¿por qué esto es un problema que necesita ser solucionado, por ejemplo, la cirugía mínimamente supersimétrica del modelo estándar? No puede la divergencia ser eliminadas por un regular renormalization procedimiento?

Answer 1

Voy a través de los siguientes cálculos. Sin embargo, no voy a calcular la integral a mí mismo ya que es muy poco práctico y no lo que queremos hacer en la práctica. Usted necesita un rápido fórmula para simplificar su integrales. Thanksfully, se proporciona una fórmula en cualquier libro de texto estándar en QFT. Usted debe derivar de esta fórmula una vez y, a continuación, pasar. Voy a hacer el cálculo mediante esta fórmula y si a usted le gustaría ver la derivación de su hacer en Peskin y Schroeder, en el que se introducen dim-reg.

Se me cayó el $N_f$ factor, ya que no del todo bien debido a la suma de las masas de sabor de los estados. Como usted ha mencionado que el diagrama está dada por (seguí tus otros convenios para los acoplamientos, que me imagino que son correctos) \begin{equation} {\cal M} = - \int \frac{ d ^4 k }{ (2\pi)^4 } \left( \frac{ i \lambda _f }{ \sqrt{ 2}} \right) ^2 ( i ) ^2 \mbox{Tr} \left[ \frac{ \cancel{k} + m _f }{ k ^2 - m ^2 _f } \frac{ \cancel{k} +\cancel{p} + m _f }{ (k+p) ^2 - m ^2 _f } \right] \end{equation} Usted puede combinar el denomenators el uso de Feynman parámetros (esta es la primera de las dos fórmulas usted lo desea, puede escribir y consultar en el futuro, pero voy a hacerlo explícitamente aquí): \begin{align} \frac{1}{ D} & = \frac{1}{ ( k ^2 - m ^2 ) \left( ( k + p ) ^2 - m ^2 \right) } \\ & = \int d x \frac{1}{ \left[ x ( ( k + p ) ^2 - m ^2 ) + ( 1 - x ) ( k ^2 - m ^2 ) \right] ^2 } \\ & = \int d x \frac{1}{ \left[ k ^2 + 2 k p x + p ^2 x ^2 - p ^2 x ^2 + p ^2 x - m ^2 x - m ^2 + x m ^2 \right] ^2 } \\ & = \int d x \frac{1}{ \left[ ( k + p x ) ^2 - ( p ^2 x ^2 - p ^2 x + m ^2 ) \right] ^2 } \\ & = \int d x \frac{1}{ \left[ ( k + p x ) ^2 - \Delta \right] ^2 } \end{align} donde $ \Delta \equiv p ^2 x ^2 - p ^2 x + m ^2 $.

Para deshacerse de la $ k + p x $ factor a cambio de $ k: k \rightarrow k - p x $. A continuación, el denomenator es incluso en $k$. El rastro está dada por: \begin{align} \mbox{Tr} \left[ ... \right] & \rightarrow \mbox{Tr} \left[ ( \cancel{k}-\cancel{p}x + m _f ) ( \cancel{k} + \cancel{p} ( 1-x ) + m _f ) \right] \\ & = 4 \left[ ( k - p x ) ( k + p ( 1-x ) ) + m ^2 _f \right] \end{align} Todos los términos lineales son cero debido a que el denominador es aún. Así, el seguimiento se convierte en: \begin{equation} \mbox{Tr} \left[ ... \right] \rightarrow 4 \left[ k ^2 - p ^2 x ( 1 - x ) + m ^2 _f \right] \end{equation}

La amplitud de ahora toma la forma, \begin{equation} - \left( 2\lambda _f ^2 \right) \mu ^\epsilon \int \,dx \frac{ \,d^dk }{ (2\pi)^4 }\frac{ k ^2 - p ^2 x ( 1 - x ) + m _f ^2 }{\left[ k ^2 - \Delta \right] ^2 } \end{equation} cuando me mudé a $ d $ dimensiones y la introducción de un renormalization escala, $ \mu $, para mantener el acoplamiento adimensional.

Yo ahora uso dos de la fórmula de Peskin y Schroeder, Eq A. 44 y A. 46, y simplificar el resultado final, \begin{align} & \int \frac{ \,d^4k }{ (2\pi)^4 } \frac{ k ^2 }{ ( k ^2 - \Delta ) ^2 } = \frac{ i \Delta }{ 16 \pi ^2 } \left( \frac{ 2 }{ \epsilon } + \log \frac{ \mu ^2 }{ \Delta } + \log 4\pi + 2 \gamma + 1 \right) \\ & \int \frac{ \,d^4k }{ (2\pi)^4 } \frac{ 1 }{ ( k ^2 - \Delta ) } = \frac{ i }{ 16 \pi ^2 } \left( \frac{ 2 }{ \epsilon } + \log \frac{ \mu ^2 }{ \Delta } + \log 4\pi - \gamma \right) \end{align}
donde solía $ d = 4 - \epsilon $.

Por simplicidad permite que sólo se centran en la mayor parte divergente (por supuesto, para calcular la física secciones tendrá el pleno de la amplitud). Es fácil, pero es más engorroso, para incluir todas las finito de piezas. En este caso tenemos, \begin{align} {\cal M} &= - \frac{ 2 i \lambda _f ^2 }{ 16 \pi ^2 \epsilon } \int d x \left[ \Delta - p ^2 x ( 1 - x ) + m ^2 _f \right] \\ & = - \frac{ 2 i \lambda _f ^2 }{ 16 \pi ^2 \epsilon } \left[ -\frac{ p ^2}{3} + 2m ^2 _f \right] \end{align}

Ahora con respecto a tu pregunta sobre el problema de la jerarquía. Sí, la divergencia y es anulada por una counterterm. Pero, la visión moderna de la QFT dice que renormalization no es un procedimiento artificial, sino que es una consecuencia física de correcciones cuánticas. Dicho esto, si la masa del Higgs es en la Vet de escala, sino que la amplitud es en la escala de Planck, la counterterms debe ser enorme. Esto significa que mientras la masa física se encuentra todavía en el TeV escala muy precisa de cancelación deben ocurrir para que esto suceda, que es muy poco natural. Dicha cancelación no sucede en ninguna otra parte de la Naturaleza!

Answer 2

Este tipo de integrales son muy comunes en 1 ciclo (y de orden superior), los cálculos, por lo que se clasifican según el número de patas unidas para el bucle. El convenio es con la etiqueta de inicio con $A$, así que la función de punto es $A(m)$, dos puntos de función es $B(p,m_1,m_2)$, etc. Según el numerador de el integrando también pueden tener tensor de componentes. Yo creo que la primera, el tratamiento completo de estos fueron entregados por Passarino y Veltman en su "Un bucle correcciones para $e^+ e^- \rightarrow \mu^+ \mu^-$" de papel. Usted puede comprobar en el apéndice D. Ambos $A$ $B$ son divergentes, y la forma cerrada expresiones se dan en $n=4-\epsilon$ dimensiones, así que usted puede ver directamente el $1/\epsilon$ plazo.