A lo más n funciones

Question

Algunos antecedentes: yo estaba tratando de resolver la ecuación funcional f(f(x))=sin(x). Me di cuenta de que $f(\pi n)$ es una raíz de f para todos los enteros n, debido a que $f(f(\pi n))=\sin(\pi n)=0$. Por lo tanto, podemos escribir f como $f(x)=A(x-f(0))(x-f(\pi))(x-f(-\pi))...$. El problema ahora es encontrar todas las funciones f que resolver esto. Ni siquiera podía empezar en esto, así que me decidí a tratar de dejar la constante, A, es igual a 1, y para tratar algunas de las versiones más sencillas, en primer lugar. E. g. Para $f(x)=x-f(0)$ encontramos la única solución de $f(x)=x$; $f(x)=(x-f(0))(x-f(\sqrt{2}))$ encontramos dos soluciones, a saber,$f(x)\in \{x^2-1,x^2-2(\sqrt{2}-1)x\}$.

He resuelto muchos más ejemplos, y, a continuación, conjeturó que:

Deje $a_i\in \mathbb{C}$$i=1,2,...,n$. Demostrar que la ecuación funcional $f(x)=(x-f(a_1))(x-f(a_2))\cdots (x-f(a_n))$ tiene exactamente $n$ soluciones distintas.

Finalmente, me di cuenta de que si esto se comprueba, entonces "seguir" (no sé si esto es riguroso, pero espero que alguien sabe cómo hacer que sea más riguroso) que nuestro original funcional de la ecuación de $f(x)=(x-f(0))(x-f(\pi))(x-f(-\pi))...$ (puse Un=1) tiene una infinidad de soluciones.

Gracias por la lectura.

Answer 1

La primera azar ejemplos que he intentado mostró que su conjetura era en su mayoría falsas. La única cosa que puede ser, posiblemente, cierto es que siempre hay al menos una solución.

Pongamos $b_i=f(a_i)(1\leq i\leq n)$. Las condiciones en las $f$ puede entonces ser reexpresado como :

$$ b_i=\prod_{k=1}^{n} (a_i-b_k) \ (1\leq i \leq n) \ (1) $$

El número de soluciones puede ser MENOS de $n$ : considere el caso $n=2,a_1=0,a_2=1$. Entonces (1) se obtiene la $(i)b_1=b_1b_2$ y $(ii)b_2=(1-b_1)(1-b_2)$. Por (i) tenemos $b_1=0$ o $b_2=1$, pero $b_2=1$ es imposible debido a que (ii). Por lo $b_1=0$ y, por tanto,$b_2=\frac{1}{2}$. En este caso, no es exactamente una solución.

El número de soluciones puede ser MÁS que $n$ : considere el caso $n=3,a_1=0,a_2=1,a_3=7$. El polinomio

$$ P=2304X^4 - 39168X^3 + 214208X^2 - 402384X + 223191 $$

tiene cuatro raíces reales $\alpha_1\aprox 0.97, \alpha_2\aprox 2.02, \alpha_3\aprox 6.98,\alpha_4\aprox 7.01$, y se ve fácilmente ser irreductible $\mathbb Q$.

Deje $\alpha$ ser cualquiera de las cuatro raíces de $P$ ; vamos a

$$ \left\lbrace\begin{array}{lcl} b_1 &=& \alpha, \\ b_2 &=& \frac{1152\alpha^3 - 12240\alpha^2 + 32224\alpha - 20964}{525} \\ b_3 &=& \frac{-1152\alpha^3 + 12240\alpha^2 - 32944\alpha + 26004}{645} \\ \end{array}\right. $$

Luego la rutina de los cálculos muestran que la $(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)$ es de hecho un solución. En este caso, por lo tanto hay al menos cuatro soluciones.