Convergencia uniforme y convergencia de integrales

Question

Pregunta:

$(X,\mathcal{M},\mu)$ espacio de la medida. Supongamos que $\{f_n\}\subset L^1$ y $f_n\rightarrow f$ de manera uniforme. Demuestre que si $\mu(X) <\infty$ entonces $\int f_n\rightarrow \int f$ .

Prueba:

Aprovecho la convergencia uniforme y $\{f_n\}\subset L^1$ para decir que $\forall x$ $\exists N$ s.t. $n\geq N \Rightarrow |f_n|\leq M$ donde M es finito, entonces construyo la función dominante $g:=M \chi_{[X]}$ y aplicar la DCT a la secuencia $\{f_n\}_{n\geq N}$ y luego afirmar que $\lim_{n\geq N\rightarrow\infty}\int f_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n$ .

¿Tiene sentido? (Soy nuevo en las matemáticas, por favor, tened piedad)

Answer 1

No del todo: Las funciones $\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{n}$ convergen uniformemente a $\frac{1}{\sqrt{x}}$ en $(0, 1)$ aunque ninguna de estas funciones esté acotada. En general, no hay ninguna razón para esperar una $L^1$ función a acotar.

Lo que sí se puede decir es que existe una $N$ de manera que siempre que $n \ge N$ , $|f(x) - f_n(x)| < \epsilon$ para todos $x$ en el espacio. A continuación, calcula

$$\left|\int f_n - \int f\right| \le \int |f_n - f| \le \int \epsilon = \epsilon \mu(X) $$

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Alternativamente, utilizando la continuidad uniforme, se puede demostrar que (eventualmente) la función $$g(x) = |f(x)| + 1$$ domina su secuencia.

Answer 2

Aquí está la prueba completa cuando $f_j: X \to \mathbb{R}$ es continua y $\mathcal{M}$ es el Borel $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{B}_X$ . Por la convergencia uniforme $f_j \to f$ y el teorema del límite uniforme , $f$ es continua y, por tanto, medible por $\mathcal{M} = \mathcal{B}_X$ . Por la convergencia uniforme $f_j \to f$ de nuevo, $\forall \varepsilon > 0$ : $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que \begin{equation} |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon \;\;\, \forall x \in X \;\;\, \forall n \geq N, \end{equation} por lo que obtenemos para cualquier $n \geq N$ : \begin{equation} \int_X \big | \, f_n(x) - f(x) \big | \, d\mu(x) \leq \int_X \varepsilon \, d\mu(x) = \varepsilon \cdot \mu(X), \end{equation} donde " $f_n - f$ "es medible y, por $\mu(X) < \infty$ pertenece a $L^1$ . Desde $f_n \in L^1$ y $f - f_n \in L^1$ tenemos $f \in L^1$ . Por lo tanto, $f_j \to f$ en $L^1$ , lo que completa la prueba.

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[Nota] Por $f_n$ , $f \in L^1$ y la desigualdad integral anterior, ahora es obvio que \begin{equation} \bigg | \int_X \, f_n(x)\; d\mu(x) - \int_X \, f(x)\; d\mu(x) \bigg | \leq \int_X \big | \, f_n(x) - f(x) \big | \, d\mu(x) \leq \varepsilon \cdot \mu(X) < \infty. \end{equation}