Pregunta de la serie de Putnam

Question

Estoy estudiando para el Examen Putnam y estoy un poco confundido acerca de cómo resolver este problema.

La suma de la serie $$ \sum_{m = 1}^{\infty} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{m^2n}{3^m(n3^m + m3^n)}. $$

He tratado de "dividir" la expresión a ver si un geométrica de la suma de la cop, pero que no me lleve a nada. También he intentado el examen de los primeros términos de la serie para los primeros valores de $m$ a ver si inductivo patrón surgieron, pero sin suerte.

Answer 1

Vamos $$ S = \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{m^2n}{3^m(n3^m + m3^n)}= \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\frac{3^m}{m}\left( \frac{3^m}{m} + \frac{3^n}{n} \right)}. $$ A continuación, vemos por simetría, que $$ 2S = \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\left( \frac{3^m}{m} + \frac{3^n}{n} \right)}\left( \frac{1}{\frac{3^m}{m}} + \frac{1}{\frac{3^n}{n}}\right), $$ o lo que es lo mismo, $$ 2S = \sum_{m=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty \frac{mn}{3^3 m^n} = \left( \sum_{m=1}^\infty \frac{m}{3^m} \right)^2. $$ El problema se reduce a calcular el último single de la suma.

Para ello, recordemos que para $|x|< 1,$ serie geométrica de los rendimientos $$ \frac{1}{1-x} = 1 + x+ x^2 + \cdots, $$ multiplicando por $x,$ y la diferenciación (esto se justifica debido a que la serie de la derecha converge en subconjuntos compactos de $|x| < 1,$ $$ \frac{1}{(1-x)^2} = 1+ 2x + 3x^2 + \cdots, $$ y multiplicando por $x$ una vez más, $$ \frac{x}{(1-x)^2} = x + 2x^2 + 3x^3 + \cdots. $$ Set $x = 1/3$ para evaluar la sola suma de la derecha. Obtenemos (si no he metido hasta los cálculos) $$ S = \frac{9}{32}. $$