Supongamos que un grupo $G$ actúa simplicially en un #% complejo $\Delta$ #%, donde "simplicially" significa que cada elemento de $X$ toma cada simplex de $G$ en otro simple por un Homeomorfismo lineal. ¿Si la acción es libre, es necesariamente una cubierta espacio acción?
Respuesta
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tariqsheikh
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Sí, se trata de una cubierta espacio de acción, es decir, no es propiamente discontinua (ver el comentario de @Dan). Para ver por qué, considere la posibilidad de $p \in X$ y deje $\sigma$ ser el único simplex cuyo interior contiene $p$. El subgrupo de $G$ que preserva $\sigma$ es trivial, ya que el subgrupo estabiliza el baricentro de $\sigma$ y la acción es libre. Así que podemos elegir un subconjunto $U \subset \sigma$ que contiene $p$, es abierta en $\sigma$, y cuyo cierre $\bar\sigma$ está contenida en el interior de $\sigma$. Este subconjunto $U$ es disjunta de todos sus traduce por no trivial elementos de $G$, porque en el interior de $\sigma$ es disjunta de todos sus traduce.
El uso de la métrica dada por baricéntrico coordenadas en cada simplex tener $\sigma$ como una cara, no es difícil ahora encontrar un subconjunto abierto $V \supset U$ $G$ que es distinto de todos sus traduce. Por ejemplo, considere cada simplex $\tau_1$ tener $\sigma$ como codimension 1 cara. Deje $V \cap \tau_1$ $\epsilon_1$- barrio de $\sigma$ donde la constante $\epsilon_1>0$ es elegido tan pequeño que el cierre de $V \cap \tau_1$ es disjunta de sus imágenes en el grupo simétrico actuando en los vértices de $\tau$. Ahora proceder a través de la skeleta de $X$, la elección adecuada de las constantes $\epsilon_k$ para el simplexes que contengan $\sigma$ como codimension $k$ cara.
