Localización de un UFD que es un PID

Question

Sea $R$ sea un UFD y $r\in R$ irreducible. Si $S=R-(r)$ ¿Por qué $S^{-1}R$ ¿un PID?

He terminado de probar la parte del dominio integral, que era bastante fácil.

¿Cómo demostrar que es el director? $R \subset S^{-1}R \subset F$ donde $F$ es el campo de fracciones de $R$ ?

Gracias. :p

Answer 1

Cada elemento de $S^{-1}R$ es de la forma $ur^n$ donde $u$ es una unidad. De ello se deduce que todo ideal es de la forma $(r^n)$ para algunos $n\geq 0$ .

Editar para completar un poco esta respuesta:

En primer lugar, ¿por qué cada elemento de $S^{-1}R$ de la forma $ur^n$ donde $u$ es una unidad y $n\geq 0$ ? Un elemento de $S^{-1}R$ es de la forma $a/b$ donde $r\nmid b$ . La factorización de $a$ tiene algún poder de $r$ en él, así que $a = r^nc$ para algunos $n\geq 0$ donde $r\nmid c$ . Así $a/b = ur^n$ donde $u = c/b$ es una unidad en $S^{-1}R$ .

Ahora dejemos que $I$ sea cualquier ideal en $S^{-1}R$ . Sea $m = \min\{n : ur^n\in I, u$ una unidad $\}$ . Afirmo que $I = (r^m)$ . Por nuestra elección de $m$ existe al menos un elemento de la forma $ur^m$ en $I$ con $u$ una unidad. Así, $I\supseteq (ur^m) = (r^m)$ . Por otra parte, cualquier elemento de $I$ es de la forma $ur^n$ donde $n\geq m$ . Desde $r^m\mid ur^n$ se tiene $ur^n\in (r^m)$ . Esto demuestra $I\subseteq (r^m)$ . Concluimos $I = (r^m)$ .