Integrar

Question

Hay una fórmula general para hallar a la primitiva de $$e^{ax}\sin(bx)?$ $

Lo he hecho manualmente con $a=9$ y $b=4$ usando las fórmulas de Euler. Pero toma un poco de tiempo. ¿Hay un patrón aquí?

Answer 1

Hay un patrón. Distinguir una función de la forma $e^{ax}\sin (bx)$ produce una combinación lineal de una función de la misma forma y una función $e^{ax}\cos (bx)$. La propiedad análoga contiene funciones $e^{ax}\cos (bx)$. Por lo que el primitivo de $e^{ax}\sin (bx)$ será una combinación lineal de $e^{ax}\sin (bx)$ y $e^{ax}\cos (bx)$ (además de una constante).

Sigue encontrar los coeficientes.

$$\begin{align} \frac{d}{dx}\left(e^{ax}(m\sin (bx) + n\cos (bx)\right) &= e^{ax}\left(a\bigl(m\sin(bx) + n\cos(bx)\bigr) + \bigl(bm\cos(bx) - bn\sin(bx)\bigr)\right)\\ &= e^{ax}\left((am - bn)\sin (bx) + (an+bm)\cos(bx)\right) \end {Alinee el} $$

Ahora resolver el sistema lineal

$$\begin{align} am - bn &= 1\\ an + bm &= 0. \end {Alinee el} $$

Answer 2

Sugerencia Integración por partes

$$\int u \ dv =uv-\int v \ du $$

Hacer sustituciones $$u=\sin(bx)\ \Rightarrow \ du=b\cos (bx) \ dx$ $ y $$\ dv=e^{ax} \ dx \Rightarrow v= \frac{e^{ax}}{a}$de % $ % que $$\int e^{ax} \sin(bx) \ dx=\frac{e^{ax}}{a}\sin(bx)-\frac ba\int e^{ax}\cos bx \ dx$$

Luego otra integración por las piezas $\int e^{ax}\cos bx \ dx$. Creo que se puede hacer el resto.

Answer 3

Prueba por partes dos veces (suponiendo que $\;ab\neq 0\;$ para evitar trivialidades):

$$ u = e ^ {ax} \;\;,\;\;u'=ae^ {ax} \\ v'= \sin bx\; \; \; \; biopsia de v =-\frac1b\cos $$

y así

$$I:=\int e^{ax}\sin bx\,dx=-\frac1be^{ax}\cos bx+\frac ab\int e^{ax}\cos bx\,dx=$$

$$=-\frac1be^{ax}\cos bx+\frac a{b^2}e^{ax}\sin bx-\frac{a^2}{b^2}\int e^{ax}\sin bx\,dx$$

Bien, ahora justo pasado el último sumando de la derecha a la izquierda (arriba) y hacer un poco álgebra:

$$\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right)I=\frac{e^{ax}}b\left(\frac 1b\sin bx-\cos bx\right)\implies I=\ldots$$

Answer 4

Escriba $\sin bx = \Im e^{ibx}$, para que

$$e^{ax} \sin bx = \Im e^{ax}e^{ibx}=e^{(a+ib)x}.$$

Integrarlo como un regular exponencial y recuperar la parte imaginaria:

$$\int e^{ax} \sin (bx) dx = \int \Im e^{ax}e^{ibx}dx= \Im \int e^{(a+ib)x}dx.$$