Si se conocen las secuencias convergentes, ¿cómo se conocen los conjuntos abiertos?

Question

Tengo un problema de deberes que creo que debería ser sencillo, pero que en realidad es sorprendentemente complicado. Por eso me encantan las matemáticas a veces ....

Dejemos que $X$ sea un espacio lineal normado. Supongamos que $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_2$ son dos normas sobre $X$ tal que $x_n\to x_0$ en $\|\cdot\|_1$ si y sólo si $x_n\to x_0$ en $\|\cdot\|_2$ .

Demostrar que $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_2$ son equivalentes.

Lo que he hecho hasta ahora es demostrar que si las topologías inducidas por $\|\cdot\|_1$ y $\|\cdot\|_2$ son iguales, entonces las normas son equivalentes. Así que creo que esto es sólo una solución parcial porque no he podido demostrar que la hipótesis dada sobre la convergencia implica que las topologías inducidas por cada norma son iguales. Creo que esto es un hecho bien conocido, pero aún así debería demostrarlo.

Empiezo por tomar un $\|\cdot\|_1$ -Vecindario $U$ de $0$ en $X$ . Ahora tendría que demostrar que para cualquier $x\in U$ Hay un $\|\cdot\|_2$ -Vecindario $V$ de $x$ tal que $V\subset U$ . Esto establecería que cada $\|\cdot\|_1$ -el conjunto abierto es $\|\cdot\|_2$ -abierto. La otra dirección sería exactamente la misma. Ahora me siento bastante denso aquí (tampoco en el sentido topológico) pero no veo cómo aplicar la condición de secuencia. ¿Alguna pista o consejo sobre cómo hacerlo?

Answer 1

Dejemos que $B_i(x,r)$ sea el $\|\cdot\|_i$ -nbhd de radio $r$ centrado en $x$ . Supongamos que no $\|\cdot\|_2$ -nbhd $V$ de $x$ es un subconjunto de $U$ . Para $n\in\mathbb{Z}^+$ elija un punto $$x_n \in B_2\left(x,\frac1n\right)\setminus U.$$ ¿Qué puede decir sobre la secuencia de $x_n$ 's?

Answer 2

Un enfoque topológico.

El hecho de que la topología de un espacio esté completamente determinada por sus secuencias convergentes es cierto en todos los espacios metrizables. Porque en esos espacios el cierre de un conjunto coincide con el cierre secuencial, por lo que si dos topologías metrizables tienen las mismas secuencias convergentes su operador de cierre es el mismo y por tanto comparten los mismos conjuntos cerrados. Entonces las topologías son iguales.

Ahora bien, es evidente que las topologías inducidas por $\lVert \cdot \rVert_1$ y $\lVert \cdot \rVert_2$ son metrizables.

EDITAR Ya que el OP pregunta, me gustaría proporcionar una prueba del hecho de que dos normas que inducen la misma topología son equivalentes. Me gusta partir de lo siguiente.

Datos Dejemos que $p_1, p_2$ sean normas ( $\tiny{\text{see note below}}$ ) en un espacio vectorial $X$ . Llame a $B_1=\{x \in X \mid p_1(x) <1\}$ y $B_2=\{x \in X \mid p_2(x)\}$ . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $p_1(x)\le p_2(x)$ para todos $x\in X$ ;
2. $B_2 \subset B_1$ . ( Mnemotécnicamente: cuanto más grande es la norma, más pequeña es la bola de la unidad ).

Prueba La única implicación no trivial es $2 \Rightarrow 1$ . La desigualdad buscada es obviamente cierta si $x=0$ Así que toma $x\ne 0$ y poner $y=x /cp_2(x)$ con $c>1$ . Tenemos

$$p_1(y)=\frac{p_1(x)}{cp_2(x)}<1$$

así que $p_1(x) < cp_2(x)$ para todos $c>1$ . Como $c \to 1$ obtenemos la desigualdad 2. $\square$

Pasamos ahora al punto principal. Supongamos que $\lVert \cdot \rVert_1, \lVert \cdot \rVert_2$ son dos normas sobre $X$ induciendo la misma topología. En particular, el $\lVert \cdot \rVert_1$ -bola de la unidad $B_1$ es una vecindad del origen en ambas topologías, lo que significa que existe $r > 0$ de manera que el $\lVert \cdot \rVert_2$ -bola $rB_2$ está contenida en $B_1$ . Definir $p_1(x)=\lVert x \rVert_1, p_2(x)=\frac{\lVert x \rVert_2}{r}$ . De lo anterior Datos deducimos que $p_1(x) \le p_2(x)$ para todos $x$ Es decir

$$\lVert x \rVert_1 \le \frac{1}{r}\lVert x \rVert_2,\qquad \forall x \in X.$$

Procediendo de forma análoga podemos demostrar una desigualdad a la inversa. Por tanto, las dos normas son equivalentes. $\square$

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Nota : Seminormas es suficiente, en realidad. Pero aquí no necesitamos esta generalidad.