Pregunta sobre el lanzamiento de una moneda

Question

Estoy tratando de hacer las cuentas de un juego de lanzamiento de moneda después de 100 partidos, pero creo que estoy fallando.

Las reglas son las siguientes.

1. empezamos con 1000 monedas
2. siempre apostamos que las cabezas suben
3. La apuesta mínima es de 10 monedas
4. La apuesta máxima es de 80 monedas
5. si sale cruz, perdemos la apuesta
6. si sale cara, ganamos el doble de lo que apostamos
7. la moneda es justa y la probabilidad de que salga cara es del 50%.
8. empezamos con una apuesta de 10
9. si perdemos doblamos la apuesta
10. si perdemos la apuesta máxima de 80 volvemos a empezar con una apuesta de 10
11. si ganamos volvemos a empezar con una apuesta de 10

Así que en esta configuración, el 50% de las veces recuperaríamos nuestras 10 monedas más 10 monedas adicionales.

Cuando perdemos tenemos que perder cuatro veces seguidas lo que he calculado que será un 6,25% que costará 150 monedas.

50% (10 monedas) * 50% (20 monedas) * 50% (40 monedas) * (80 monedas) 50% = 6,25% (150 monedas en total)

¿Estoy en lo cierto al pensar que esto significa que la probabilidad de alcanzar el equilibrio es del 43,75%?

Así que después de 100 partidos tendríamos la ganancia y la pérdida como abajo y terminaríamos con el balance después de aplicar las victorias y las pérdidas.

Ganar: (50% de posibilidades de ganar * 100 partidas) * 10 monedas ganadas = 500 monedas ganadas Pérdida: (6,25% de probabilidad de pérdida * 100 partidas) * 150 monedas = 937,5 monedas perdidas Total: 1000 de inicio + 500 de ganancia - 937,5 de pérdida = 562,5 de saldo final

No estoy seguro de que mis cálculos sean correctos. Agradecería que alguien lo revisara y me dijera si me estoy equivocando terriblemente.

Answer 1

No importa cuál sea su estrategia de apuestas, su número esperado de monedas seguirá siendo siempre de 1000 monedas. Esto incluye la leve posibilidad de que no puedas ni siquiera hacer tus 100 partidas porque ya perdiste tus 1000 monedas después de 28 rondas.

Dado este hecho, ¿cuál es la probabilidad de tener más o menos de 1000 monedas después de muchas (digamos, $N$ ) juegos? Si $p_n$ denota la probabilidad de tener $n$ monedas después de $N$ juegos, entonces el valor esperado es $$E(X)=1000=\sum_{n=0}^\infty n p_n$$ Y la probabilidad de tener menos o más de 1000 monedas es $$p_{<1000}=\sum_{n=0}^{999} p_n$$ $$p_{>1000}=\sum_{n=1001}^{\infty} p_n.$$ Con unas pocas partidas, tenemos una alta probabilidad de tener algo más de 1000 monedas y una baja probabilidad de tener mucho menos de 1000 monedas.

Sin embargo, para los grandes $N$ cuando es posible haber ganado mucho, mucho más que las 1000 monedas originales y también no es muy improbable que hayamos quebrado con $0$ monedas (y no puede permitirse apostar más de $0$ monedas) la situación cambia: $p_{<1000}$ está dominado en gran medida por $p_0$ que no contribuye en absoluto a $E(X)$ mientras que $p_n$ para grandes $n$ son distintos de cero. Esto es como la situación opuesta a lo que pretendía la estrategia de apuestas: Hay una alta probabilidad de una pérdida moderada (de 1000 monedas) y una pequeña probabilidad de ganancia sustancial. Especialmente, para una cantidad suficientemente grande $N$ Tendremos $p_{<1000}>p_{>1000}$ . Sería interesante saber, a qué número $N$ de rondas se produce el cambio. Sin embargo, estimo que se necesitarán más de las 100 partidas que sugieres.

Answer 2

Llamemos a un conjunto de tiradas que terminan en un reajuste del tamaño de la apuesta (a $10$ monedas) a serie . Como has calculado, la única forma de perder una serie es lanzar cuatro colas seguidas, lo que tiene una probabilidad $1/16$ En este caso, la serie dura cuatro vueltas y tiene un resultado $-150$ . En todos los demás casos (probabilidad $15/16$ ), la serie tiene un resultado $+10$ aunque su duración puede ser de una a cuatro vueltas. Así que el resultado esperado de una serie es $(1/16)(-150) + (15/16)(10) = 0$ como debe ser (ya que cada tirada individual es justa). Las probabilidades de salir a flote en una sola serie son mucho mayores que las de salir a flote. Pero cuando se encadenan un gran número de series, dado que las raras pérdidas son mayores que las frecuentes victorias, la probabilidad de alcanzar el punto de equilibrio se aproxima al cincuenta por ciento.