¿Qué sucede si usted repetidamente tomar la media aritmética y la media geométrica?

Question

Dados dos números reales positivos, a y B, tales que a<=B, tomar la media geométrica, dando A', y la media aritmética, dando a B'. Repetir ad infinitum. Mi intuición me dice que, dado que tanto significa dar valores entre los dos números originales, van a converger a medida que el número de repeticiones enfoques infinito. Es esto correcto? Hay una fórmula simple para determinar en qué valor convergen?

Answer 1

De hecho, convergen en lo que se conoce como la Aritmética–media geométrica. Desafortunadamente, no hay una fórmula simple, pero al calcular recursivamente, al menos en cierta precisión, podrían ser consideradas "simples".

A ver que converge, vamos $a_0=A$, $b_0=0=B$ y

$$a_{n+1}=\sqrt{a_nb_n}$$ $$b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$$

De modo que, el AM-GM-desigualdad $$a_n\le a_{n+1} \le b_{n+1}\le b_n$$ for all n. And the difference $$b_n-a_n\le\frac{b_0-a_0}{2^n}$$ converge a cero. La razón de esta última desigualdad se cumple es que la diferencia claramente se reduce más rápido que si en lugar de dejar que $b_n$ ser constante, en cuyo caso la diferencia se divide por dos a cada paso.

Answer 2

Esta es la aritmética-media geométrica. Sí, hace converger positivas de los valores de partida. No, No hay ninguna fórmula simple para la media, aunque hay algunos interesantes equivalentes en forma de integrales (ver el enlace).