Mostrar que $n^4-20n^2+4$ es compuesto cuando $n$ es cualquier número entero.

Question

Crux Mathematicorum en junio de 1978,

Demuestra que $n^4-20n^2+4$ es compuesto cuando $n$ es cualquier entero.

Mi pregunta: ¿Qué se entiende por 'compuesto'?

Además, descubrí que esta expresión se puede factorizar en $(n^2-4n-2)(n^2+4n-2)$. ¿Está relacionado con la pregunta?

Espero que alguien pueda aclarar lo que se entiende por compuesto y cuál es la pregunta realmente y resolver esto. Gracias de antemano.

Answer 1

Dada la expresión $n^4-20n^2+4$

Tú escribes

"Descubrí que esta expresión se puede factorizar en".. $$(n^2−4n−2)(n^2+4n−2).$$ ¿Esto está relacionado con la pregunta?"

¡SÍ!

Si ninguno de los factores que encontraste da como resultado $1, 0, -1$, bajo cualquier valor entero de $n$, habrás demostrado que la expresión se puede factorizar en dos factores no nulos, y por lo tanto, es compuesta.

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Supongamos que primero intentamos resolver si alguno de los factores podría ser cero dado algún entero $n$:

$(1)\;\;n^2-4n - 2 = 0$

$(2)\;\; n^2 + 4n - 2 = 0$

Al usar la ecuación cuadrática, encontrarás que no hay raíces enteras para ninguno de ellos. Así que ninguno de los factores es cero.

De manera similar, puedes usar la ecuación cuadrática para probar si alguno de los factores puede ser $\pm 1$

$(3)\;\;n^2-4n-2 = 1 \iff n^2-4n -3 = 0$

$(4)\;\;n^2 - 4n-2 = -1 \iff n^2 - 4n -1 = 0$.

De manera similar, vemos que no hay raíces enteras $n$ al resolver para $n$

$(5)\;\; n^2+4n-3 = 0, \;\;\;(6)\;\;n^2 + 4n -1 = 0$

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Ahora, si usamos la definición común de un número compuesto como estrictamente un entero positivo $k$ con al menos tres factores (o al menos un factor distinto de $1$ y de sí mismo $(k\geq 2)$, entonces la afirmación no es verdadera.

Contraejemplo bajo esta definición más estricta:

Cuando $n=3$, la expresión evalúa a: $3^4-20\times 3^2+4 = 81-180 + 4 = -95$. Este no es un número compuesto, estrictamente definido, porque no es un entero positivo. Sin embargo, dado que $-95 = (-1)(1)(5)(19)$, para los propósitos de esta tarea, podemos ver que $-95$ es un número compuesto negativo.

Answer 2

Ten en cuenta que $$n^2-4n-2=(n-2)^2-6$$ y $$n^2+4n-2=(n+2)^2-6$$ Para enteros $n$, ninguno de $(n-2)^2$ o $(n+2)^2$ dará un valor de $5, 6, 7$ (ninguno de estos son cuadrados perfectos) por lo tanto ninguno de los factores son $-1, 0, 1$.

Por lo tanto, el producto de ambos factores es un número compuesto.