Supongamos que elijo tres puntos al azar en la superficie de una esfera. ¿Cuál es el área media? (Cada punto se elige de forma independiente con respecto a una distribución uniforme en la esfera) También, ¿cuál sería el área media si elijo tres puntos en otros tipos de superficies? Por ejemplo, un cuadrado/circunferencia de 2 dimensiones o una línea unidimensional.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Otra forma de ver el resultado es mediante un argumento de simetría.
Para cualquier triángulo esférico dado, puede alternar cada punto con su opuesto diametral para obtener un total de $2^3 = 8$ triángulos. La propiedad clave que hay que ver aquí es que la unión de todos estos triángulos es igual a la esfera, y que la intersección de dos de estos triángulos tiene un área igual a $0$ (como mucho es un lado común). Así que básicamente forman una partición de la esfera (en cuanto a área, al menos).
Esto significa que el área esperada de un triángulo esférico aleatorio tiene que ser un octavo de la esfera total, es decir $\pi R^2/2$ .
Editar: Para aclarar el último paso, ya que estos $8$ los triángulos tienen igual probabilidad, su área media es la suma de las áreas ( $4\pi R^2$ ) dividido por $8$ . Entonces hay que ver que cada triángulo forma parte de tal conjunto de $8$ triángulos, sin que ningún conjunto sea más probable que otro.
Como yo lo veo: elegir un triángulo al azar es lo mismo que elegir un conjunto de $8$ triángulos (es decir, elegir tres grandes círculos al azar, que se relaciona con la solución de los ángulos), y luego elegir uno de los $8$ triángulos uniformemente al azar.
