Supongamos que $X_1,X_2,\cdots$ son i.i.d. $N(\mu,1)$. Muestran que la correlación asintótica entre media muestral y la mediana de la muestra (después convenientemente centrado y renormalización) $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$.
Respuesta
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Obtener este documento, escrito por T. S. Ferguson, profesor de la UCLA (su página aquí).
Esto deriva de la articulación de distribución asintótica de la muestra la media y la mediana de la muestra.
Para ser más específicos, deje $\hat X_n$ será la media de la muestra y $\mu$ de la población, $Y_n$ ser el ejemplo de la mediana y de la $\mathbb v$ de la población de la mediana. Deje $f()$ ser la densidad de probabilidad de las variables aleatorias involucradas ($X$) Deje $\sigma^2$ de la varianza. Entonces Ferguson demuestra que
$$\sqrt n\Big [\left (\begin{matrix} \hat X_n \\ Y_n \end{matrix}\right) - \left (\begin{matrix} \mu \\ \mathbb v \end{matrix}\right)\Big ] \rightarrow_{\mathbf L}\; N\Big [\left (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}\right) , \Sigma \Big]$$
$$ \Sigma = \left (\begin{matrix} \sigma^2 & E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} \\ E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1} & \left[2f(\mathbb v)\right]^{-2} \end{matrix}\right)$$
A continuación, la asintótica de correlación de esta centrada y normalizada cantidad (abusando de la notación, como de costumbre)
$$\rho_{A}(\hat X_n,\, Y_n) = \frac {\text {Cov} (\hat X_n,\, Y_n)}{\sqrt {\text{Var}(\hat X_n)\text{Var}(Y_n)}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}}{\sigma\left[2f(\mathbb v)\right]^{-1}} = \frac {E\left(|X-\mathbb v|\right)}{\sigma}$$
En su caso, $\sigma = 1$ así que terminamos con
$$\rho_{A}(\hat X_n,\, Y_n) = E\left(|X-\mathbb v|\right)$$
En su caso, de la población de la siguiente manera normal con varianza unitaria, por lo que la variable aleatoria $Z= X-\mathbb v$$N(0,1)$. A continuación, su valor absoluto sigue el estándar (de) de la media normal de distribución, cuyo valor esperado es $$ E(|Z|) =\sigma\sqrt {\frac{2}{\pi}} = \sqrt {\frac{2}{\pi}}$$ desde aquí $\sigma =1$. Así $$\rho_{A}(\hat X_n,\, Y_n) = \sqrt {\frac{2}{\pi}}$$
Agregó nota: se puede observar que el resultado no depende de la $\sigma =1$ desde $\sigma$ cancela fuera de numerador y denominador.
