¿Cuál es la función inversa de $\ x^2+x$?

Question

Creo que el título lo dice todo; Estoy en busca de la función inversa de $\ x^2+x$, y no tengo ni idea cómo hacerlo. Pensé que tal vez se podría utilizar la ecuación cuadrática o algo. Sería interesante saber.

Answer 1

Si usted quiere invertir $x^2 + x$ en el intervalo $x \ge -1/2$, escriba $y = x^2 + x$, que $x^2 + x -y = 0$.

Utilice la ecuación cuadrática con $a=1$, $b=1$ y $c=-y$ encontrar $$ x= \frac{-1 + \sqrt{1+4y}}{2}.$ $

(La opción de si utilizar $+\sqrt{4ac}$ en lugar de $-\sqrt{4ac}$ es porque estamos encontrando la inversa de la parte derecha de la parábola. Si desea invertir el lado izquierdo, se usaría el otro signo.)

Answer 2

Podemos escribir $x^2+x=(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$ por completando el cuadrado. Si usted se limita al dominio $x \ge -\frac{1}{2}$ entonces esta función sería invertible y su inversa es la función $$x \mapsto \sqrt{x+\frac{1}{4}} - \frac{1}{2}$ $ podría hacer algo parecido en el dominio $x \le -\frac{1}{2}$; pero la función no definida inversa en $\mathbb{R}$.

Answer 3

Solucionar $y = x^2+x$, es decir, resolver la ecuación cuadrática $x^2+x-y = 0$. Esto le da $x = \frac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{1+4y})$. En consecuencia, existe una relación inversa entre la fib $y \geq -\frac{1}{4}$.

Para abordar las cuestiones planteadas en los comentarios:

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser dado por $f(x) = x^2+x$. Entonces a partir de la $f(-\frac{3}{2}) = f(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ es claro que $f$ no es inyectiva, por otra parte, desde la $f(x) \geq -\frac{1}{4}$ es claro que $f$ no es surjective, por tanto, una función inversa, como se define generalmente, no existe para $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Esto le da un par de opciones:

(1) Definir la función de $\eta: \mathbb{R} \to 2^{\mathbb{R}}$ $$ \eta(t) = \begin{cases} \{ \frac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{1+4t})\}, && t \geq -\frac{1}{4} \\ \emptyset, && \text{otherwise}\end{cases}$$ Luego tenemos a $f(x) = y$ fib $x \in \eta(y)$. Esto fue lo que me refería con la respuesta inicial (con mucho menos de equipaje).

(2) Restringir el dominio de la función original y se encuentra a la izquierda inversa. Por ejemplo, podríamos considerar que la $f$ sobre el dominio $[-\frac{1}{2},\infty)$, y la función de $\phi :[-\frac{1}{4},\infty) \to \mathbb{R}$$\phi(t) = \frac{1}{2}(-1 + \sqrt{1+4t})$. Luego tenemos a $\phi \circ f = \text{Id}$ sobre el dominio $[-\frac{1}{2},\infty)$.

(3) Encontrar un adecuado derecho inversa y de dominio. Por ejemplo, $f\circ \phi = \text{Id}$ sobre el dominio $[-\frac{1}{4},\infty)$.

Answer 4

Tenemos $x^2+x=y$ fib $x^2+x-y=0$. Resolver esta ecuación para $x$, utilizando la Fórmula Cuadrática. Tenemos $$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4y}}{2}.$$ Dos respuestas (por lo general) por $x$, por lo que tenemos un problema. Es fundamentalmente el mismo problema como el que tenemos con la simple función de $x^2$. Y hay una muy similar revisión: restringir el dominio de nuestra función original.

Definir una nueva función $f_{+}(x)$ $f_{+}(x)=x^2+x$ si $x \ge -1/2$, $f_{+}(x)$ indefinido al $x\lt -1/2$. A continuación, la función de $g$ definido por $$g(y)=\frac{-1+\sqrt{1+4y}}{2}$$ es la función inversa de la $f_{+}$. Tenga en cuenta que $g(y)$ sólo se define cuando se $y\ge -1/4$.

Si definimos la función de $f_{-}(x)$ $f_{-}(x)=x^2+x$ si $x\le -1/2$, $f_{-}(x)$ indefinido para $x\gt -1/2$, entonces la función de $h$ definido por $$h(y)=\frac{-1-\sqrt{1+4y}}{2}$$ es la función inversa de la $f_{-}$. Tenga en cuenta que $h(y)$ sólo se define cuando se $y\ge -1/4$.

Nota: es útil para dibujar una imagen para ver lo que está pasando. La curva de $y=x^2+x$ es un alza frente parábola que cumple con los $x$ eje $(-1,0)$$(0,1)$, y por lo tanto tiene su vértice en $(-1/2, -1/4)$. Para cada $y$-valor mayor que $-1/4$, hay dos $x$-valores. Si queremos una función que "deshace" lo $x^2+x$, lo cual de estos valores va a elegir?

Answer 5

Indicar $f(x):=x^{2}+x$

Entonces no es inversible si se considera como una función de $f$ $\mathbb{R}$ ya que, por ejemplo, $\mathbb{R}$ por lo tanto, no es $f(0)=f(-1)=0$ $1-1$