Pregunta sobre Integrales indefinidas

Question

Tengo que integrar:

$$I_2 = \int \frac{e^{2x} - e^{x} + 1}{(e^x\cos(x) - \sin(x))\cdot \left(e^x\sin(x) + \cos(x)\right)} \text{d}x$$

Simplemente no entiendo de dónde empezar. Por favor me ayude en la solución de este problema.

Answer 1

He consultado Páramo y propuso la adopción de un enfoque en diferenciación en el denominador. Deje $f(x) = (e^x \cos (x) - \sin(x))$$g(x) = (e^x \sin x + \cos x)$. A continuación, tenga en cuenta que, por la regla del producto $(fg)'=f'g +g'f = (e^x\cos(x)-e^x\sin(x) - \cos(x))(e^x \sin (x) + \cos (x)) + (e^x\sin (x) + e^x \cos(x)-\sin(x))(e^x \cos(x) - \sin(x))$

pero esto no anula muy bien para conseguir $e^{2x}-e^x+1$. De hecho, la expansión de da $$(fg)' = (e^{2x} \sin(x) \cos(x) + e^x \cos^2(x) - e^{2x} \sin^2 (x) - \cos^2(x) - 2e^x \sin(x)\cos(x)) \\ +(e^{2x}\sin(x)\cos(x) - e^x \sin^2(x) + e^{2x} \cos^2 (x) + \sin^2(x) - 2e^x \sin (x) \cos (x))$$ Tenga en cuenta que $fg'$ va a cancelar con un montón de $f'g$ si $fg'$ es negativo. En particular, tenga en cuenta que $f'(x)g(x) - f(x)g'(x) = -(e^{2x} - e^x + 1)$.

Por lo tanto, nuestra integral parece

\begin{align*} \int \frac{e^{2x} - e^{x} + 1}{(e^x\cos(x) - \sin(x))\cdot \left(e^x\sin(x) + \cos(x)\right)} \, dx &= -\int \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{f(x)g(x)}\,dx \\ &= - \int \left(\frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \,dx \\ &= - \ln(f(x)) + \ln(g(x)) + C \\ &= \ln\left(\frac{g(x)}{f(x)}\right) + C \\ &= \ln\left(\frac{e^x \sin(x) + \cos(x)}{e^x \cos(x) - \sin(x)} \right) +C \end{align*}

Answer 2

SUGERENCIA:

$$\int\space\frac{e^{2x}-e^x+1}{\left(e^x\cos(x)-\sin(x)\right)\left(e^x\sin(x)+\cos(x)\right)}\space\text{d}x=$$ $$2\int\space\frac{-e^x+e^{2x}+1}{e^{2x}\sin(2x)-\sin(2x)+2e^x\cos(2x)}\space\text{d}x=$$ $$2\int\space\frac{2\cosh(x)-1}{2\left(\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)\right)}\space\text{d}x=$$ $$\frac{2}{2}\int\space\frac{2\cosh(x)-1}{\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)}\space\text{d}x=$$ $$\int\space\frac{2\cosh(x)-1}{\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)}\space\text{d}x=$$ $$2\int\space\frac{2\cosh(x)-\frac{1}{2}}{\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)}\space\text{d}x=$$ $$2\int\space\left(\frac{\cosh(x)}{\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)}-\frac{1}{2\left(\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)\right)}\right)\space\text{d}x=$$ $$2\int\space\frac{\cosh(x)}{\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)}\space\text{d}x-2\int\frac{1}{2\left(\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)\right)}\space\text{d}x=$$ $$2\int\space\frac{\cosh(x)}{\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)}\space\text{d}x-\int\frac{1}{\cos(2x)+\sin(2x)\sinh(x)}\space\text{d}x$$

Answer 3

No conozco un método general para este tipo de integrales, pero si van a dar un simple resultado, se debe más o menos se hace de la siguiente manera:

Tomamos nota de que $$ D(e^x\cos x-\sin x)=e^x(\cos x-\sin x)-\cos x $$ y $$ D(e^x\sin x+\cos x)=e^x(\cos x+\sin x)-\sin x. $$ A continuación, nuestro objetivo será hacer una especie de fracción parcial de la descomposición (no es una función racional, por lo que tal vez debería ser llamado algo diferente), $$ \frac{e^{2x}-e^x+1}{(e^x\cos x-\sin x)(e^x\sin x+\cos x)}=\frac{f(x)}{e^x\cos x-\sin x}+\frac{g(x)}{e^x\sin x+\cos x}. $$ Si somos realmente afortunados $f(x)$ será el derivado de la $e^x\cos x-\sin x$ $g(x)$ será el derivado de la $e^x\sin x+\cos x$. Ahora, como sucede, esto no es exactamente cierto. Pero casi! Me animo a escribir $$ un\frac{e^x(\cos x-\sin x)-\cos x}{e^x\cos x-\sin x}+b\frac{e^x(\cos x+\sin x)-\sin x}{e^x\sin x+\cos x} $$ en denominador común, y tratar de encontrar las constantes de $a$$b$, de modo que es igual a la original integrando. Con ese hecho, la integración será sencillo, ya que es de la forma $a\phi'(x)/\phi(x)+b\psi'(x)/\psi(x)$ y por lo tanto dar a los logaritmos. Os dejo los detalles para usted. Desplácese más abajo para ver el resultado final.

Uno se $a=-1$$b=1$, y por lo tanto el resultado final es $$-\ln|e^x\cos x-\sin x|+\ln|e^x\sin x+\cos x|+C$$