Hice esta pregunta en mathoverflow, alguien me sugirió pedir aquí también. Así que a publicar aquí. Gracias por su ayuda.
Quiero preguntar: ¿hay algún método general para la sustitución de variables en múltiples suma?
Por ejemplo, en la siguiente ecuación de una nueva variable $\lambda=n+m-2\mu$ es introducido a transformar la LHS a la RHS $$\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \sum_{\mu=0}^{\left\lfloor \frac{m+n}{2}\right\rfloor}f(n,m,\mu,n+m-2\mu) = \sum_{\lambda=0}^\infty \sum_{\mu=0}^\infty \sum_{n=0}^{2\mu+\lambda}f(n,2\mu+\lambda-n,\mu,\lambda)$$
Otro ejemplo, en que una nueva variable $\delta=m+n+2 p-2 k-2 \mu-2 \sigma$ es introducido
$$\sum _{n=0}^{\infty } \sum _{m=0}^{\infty } \sum _{p=0}^M \sum _{k=0}^p \sum _{\sigma =0}^{p k}\quad \sum _{\mu =0}^{\left\lfloor \frac{m+n}{2}+p-k-\sigma \right\rfloor } f(n,m,\mu ,p,k,\sigma ,m+n+2 p-2 k-2 \mu-2 \sigma )$$ $$= \la suma de _{\delta =0}^{\infty } \sum _{\mu =0}^{\infty } \sum _{p=0}^M \quad\sum _{\beta =0}^{\min \left(p,\left\lfloor \frac{\delta }{2}+\mu \right\rfloor \right)}\quad \sum _{n=0}^{2 (\mu -\beta )+\delta }\quad \sum _{k=0}^{p-\beta }\;\; f(n,\delta +2 \mu-2 \beta -n,\mu ,p,k,p-\beta -k,\delta ) $$
Comentarios adicionales: mi objetivo es el uso de una nueva suma de índice, por ejemplo,$\lambda$, para expresar una particular combinación lineal de la edad de los índices, que es nombrado por mí, por ejemplo,$n+m-2\mu$. Así que este es un lineal de transformación de coordenadas. Mi problema es cómo determinar todos los límites inferior y superior de la nueva suma de los índices de marco, así como la suma de los pasos que son, posiblemente, no $1$.
Me pregunto si hay un sistemático y eficiente de la tecnología, por lo que puede ser capaz de hacer esas transformaciones automáticamente por la programación.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No hay tal "método general", la razón es la siguiente:
Cuando tenemos que calcular una integral $\int_B f(x){\rm d}(x)$ más que unos simples cuerpo $B\subset{\mathbb R^n}$ usualmente, hay muchas escuelas primarias mapas de $g: \ A\to B, \ u\mapsto g(u)$ que son esencialmente bijective y hacer $B$ la imagen de un simple cuerpo $A$, o vamos a convertir en $f$ una expresión más sencilla de la nueva variable $u$.
Por otro lado, una $r$veces la suma ejecuta a través de unas sencillas subconjunto de ${\mathbb Z}^r$, es decir, una octante o un triángulo $\{(i,k)\ |\ 0\leq k\leq i\leq n \}$. A menos que se recurra a número teórico-trucos no hay casi ninguna primaria mapas de asignación de un conjunto a otro conjunto. Patrick Da Silva ha dado un ejemplo en su comentario: se trata de un lineal mapa con unos en la diagonal principal y uno fuera de la diagonal elemento distinto de cero.
Como un aparte: es un famoso problema sin resolver para obtener una estimación exacta del número de celosía puntos en un disco de radio $R$.
