Como sabemos ese límite débil de una secuencia de Borel medidas de probabilidad en el espacio métrico es único. ¿Tenemos esta propiedad para la secuencia general de las medidas de Borel firmadas en el espacio métrico? Gracias.
Respuesta
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Suponemos que $\{\mu_n\}$ converge débilmente a$\nu_1$$\nu_2$. Tomando $f=1$, podemos ver que $\nu_1(X)=\nu_2(X)$ y poner $\nu=\nu_1-\nu_2$, tenemos $$\nu(X)=0\mbox{ and }\quad \forall f\in C_b(X), \int_Xf(x)d\nu(x)=0.$$ Tome $O$ un subconjunto abierto de $X$. Podemos acercarnos a pointwise la función característica de a $O$ por una secuencia de continuo delimitado las funciones, lo que da, dominado por la convergencia y la descomposición de la $\nu$ que $\nu(O)=0$ para cada subconjunto $O$. Desde la apertura de los subconjuntos de los formularios de una de las colecciones estables bajo finito intersecciones que genera Borel $\sigma$-álgebra en $X$, podemos deducir que $\nu=0$, por lo tanto $\mu_1=\mu_2$ y el límite es único.
