Demostrando que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen las mismas soluciones

Question

Apenas he empezado a aprender Álgebra Lineal por mi cuenta a través del libro de Hoffman y Kunze y el primer conjunto de problemas ya tiene una pregunta que no puedo resolver:

Demuestra que si dos sistemas homogéneos de ecuaciones lineales en dos incógntias tienen las mismas soluciones, entonces son equivalentes.

No puedo encontrar la forma de demostrar esto sin recurrir al trabajo por casos donde se consideran los casos en los que uno de los coeficientes es cero y cuando ambos lo son.

¿Hay una forma elegante de demostrar de forma general que cuando dos sistemas de ecuaciones lineales tienen las mismas soluciones, son equivalentes? Aunque la conversa es bastante obvia.

Definición de equivalencia del texto:

Digamos que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si cada ecuación en cada sistema es una combinación lineal de las ecuaciones en el otro sistema.

Answer 1

Debemos demostrar lo siguiente: Dado cualquier conjunto de soluciones $L\subset{\mathbb R}^2$ entonces cualquier par de sistemas homogéneos $$\Sigma: \qquad a_i x+ b_i y=0 \qquad (1\leq i\leq n)$$ que tengan el conjunto de soluciones $L$ pueden transformarse uno en otro mediante operaciones de fila.

El conjunto de soluciones $L$ puede ser uno de los siguientes:

(i) $\ \{0\}$,

(ii) un subespacio unidimensional $$ con $r=(p,q)\ne 0$,

(iii) todo ${\mathbb R}^2$.

Ad (i): Si $0$ es la única solución de $\Sigma$ entonces no todos los vectores fila $c_i=(a_i,b_i)$ pueden ser múltiplos de un mismo vector $c\ne0$. Así que hay dos ecuaciones $a_1 x+b_1 y=0$, $a_2 x+ b_2 y=0$ en $\Sigma$ con vectores fila linealmente independientes $(a_i, b_i)$, y mediante operaciones de fila se pueden transformar en $\Sigma_0: \ x=0, y=0$. Más operaciones de fila eliminarán todas las ecuaciones restantes de $\Sigma$. Concluimos que en este caso todos los sistemas $\Sigma$ son equivalentes a $\Sigma_0$.

Ad (ii): El Sistema $\Sigma$ debe contener al menos una ecuación con $c_i=(a_i,b_i)\ne 0$. Sostenemos que todas las ecuaciones con $c_i\ne 0$ son individualmente equivalentes a $\Sigma_1: \ q x -p y=0$. Entonces en este caso cualquier $\Sigma$ dado es equivalente a $\Sigma_1$. Para demostrarlo podemos asumir $a_i\ne 0$. Ahora $r\in L$ implica $a_i p+ b_i q=0$, y como $r\ne 0$ debemos tener $q\ne 0$. Esto implica $b_i=-a_i p/q$, por lo que multiplicar la ecuación $a_i x+ b_i y=0$ por $q/a_i$ da $\Sigma_1$.

Ad (iii): Este caso es trivial. Todas las filas de $\Sigma$ son $0.

Answer 2

Que haya dos sistemas, si cada ecuación del segundo sistema es una Combinación Lineal del primer sistema, entonces cada solución del primer sistema también es solución del segundo sistema, y si cada ecuación del primer sistema es una Combinación Lineal del segundo sistema, entonces cada solución del segundo sistema también es solución del primer sistema.

Ahora, consideremos los siguientes dos sistemas homogéneos en dos incógnitas ($x_1, x_2$), las soluciones de ambos sistemas son iguales. $A_{11}x_1+A_{12}x_2=0 ... A_{n1}x_1+A_{n2}x_2=0$ y $B_{11}x_1+B_{12}x_2=0 ... B_{n1}x_1+B_{n2}x_2=0$.

Selecciona escalares $C_1, C_2, ..., C_n$. Multiplica la $k^{th}$ ecuación del primer sistema por $C_k$ y luego suma por columnas (para que la variable sea común) para obtener lo siguiente $(C_1A_{11}+...+C_nA_{n1})x_1+(C_1A_{12}+...+C_nA_{n2})x_2=0`.

Comparando esta ecuación con todas las ecuaciones del segundo sistema y también utilizando el hecho de que ambos sistemas tienen las mismas soluciones, obtenemos

$C_1A_{11}+...+C_nA_{n1}=B_{11}, B_{21},..., B_{n1}$ y $C_1A_{12}+...+C_nA_{n2}=B_{12}, B_{22},..., B_{n2}$,

lo que prueba que el segundo sistema es una Combinación Lineal del primer sistema. De manera similar, podemos demostrar que el primer sistema es una Combinación Lineal del segundo sistema y así concluir que ambos sistemas son Equivalentes.

Answer 3

Si la equivalencia significa "que cada ecuación en un sistema es una combinación lineal de ecuaciones en el otro" entonces la prueba es casi trivial mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan que es una aplicación de eliminación de Gauss para hacer un sistema de ecuaciones equivalente a una forma diagonal (primero triangular superior, luego diagonal), llegando a la solución realizando operaciones elementales de fila. Puedes trabajar hacia atrás y empezar desde la solución de tu sistema escrita como una matriz diagonal y aplicar un conjunto diferente de operaciones elementales de fila para llegar a diferentes sistemas de ecuaciones que son equivalentes ya que cada ecuación (fila de tu matriz) de uno puede ser rastreada para ser escrita como una combinación lineal del otro por construcción.

Answer 4

Considera el espacio de vectores en $\mathbb R^n$.

Entonces se sabe que $m \le n$ vectores de él $\bf v_1, \cdots, \bf v_m$ abarcarán un subespacio de a lo sumo $\mu \le m$ dimensiones.

También se sabe que su espacio nulo, es decir, el espacio abarcado por los vectores normales a ellos, es de dimensión $n-\mu$.
Las soluciones $\bf x$ al sistema $$\bf v_1 \cdot \bf x=0, \; \bf v_2 \cdot \bf x =0, \; \cdots,\; \bf v_m\cdot \bf x =0$$ son de hecho todos los vectores que pertenecen al espacio nulo respectivo.

Si dos conjuntos de vectores $\bf v_1, \cdots, \bf v_m$ y $\bf w_1, \cdots, \bf w_m$ tienen el mismo conjunto de vectores nulos, es decir, el mismo espacio nulo, entonces los $\bf v$'s y los $\bf w$'s abarcan el mismo subespacio, por lo que comparten la misma base, y se pueden expresar uno como combinación lineal del otro. En ese sentido son equivalentes.

En la otra dirección, si son equivalentes al abarcar el mismo subespacio, entonces tienen el mismo espacio nulo y por lo tanto las mismas soluciones al sistema homogéneo.