Estoy estudiando la construcción de los binarios de código de Golay usando el binario extendido código de Golay $\mathcal{G}$. Es bien sabido que la extensión del código de Golay es una $[24,2^{12},8]_2$-código y puede ser construido a partir de la generación de la matriz de $$ {I} \choose {A} $$ where $I$ is the $12 \times 12$ identity matrix and $$ is the matrix of anti-adjacency of the set of vertices of an icosahedron. I studied some usual results about the extended binary Golay code. For instance: $$ is orthogonal, or $\forall \; x \in \mathcal{G}: w(x) \en \{0,8,12,16,24\}$ where $w(x)$ denotes the weight of $x$, ...
Ahora se afirma que es posible construir un perfecto $[23,2^{12},7]_2$-código con la siguiente construcción: considerar la extendida código de Golay $\mathcal{G}$, pick $i \in \{1, \ldots, 24\}$ y establezca $$\mathcal{G}_i := \{x_1 \ldots \hat{x}_i \ldots x_{24} \mid x_1 \ldots x_{24} \in \mathcal{G} \}$$ A continuación, $\mathcal{G}_i$ es una perfecta $[23,2^{12},7]_2$-código.
Ahora bien, la comprobación de la perfección no es un problema, ya que es suficiente para comprobar el Hamming obligado (si asumimos que $\mathcal{G}_i$ es de hecho un $[23,2^{12},7]_2$-código). Sin embargo, ¿por qué no es posible elegir a $i \in \{1, \ldots , 24\}$ de tal manera inteligente, que $\mathcal{G}_i$ tiene un mínimo de distancia de 8 en vez de 7? Sé que de todas las informaciones en internet sobre el código de Golay que no es posible, sin embargo, me gustaría ver una prueba directa de que, es decir, que no implica la unicidad del código de Golay, por ejemplo. Si me reformular mi pregunta se convierte en: si seleccionamos dos palabras en la distancia $8$, se puede elegir $i \in \{1, \ldots, 24\}$ de manera tal que el $i^{th}$ carta difiere y eliminar en cada palabra, de modo que la distancia mínima se convierte en verdad 7. ¿Por qué es siempre el caso?
