Límites superior en el tamaño de $\operatorname{Aut}(G)$

Question

Cualquier automorphism de un grupo de $G$ es un bijection que corrige la identidad, tan fácil límite superior para el tamaño de $\operatorname{Aut}(G)$ para un grupo finito $G$ está dado por

\begin{align*}|\operatorname{Aut}(G)| \leq (|G| - 1)! \end{align*}

Esta desigualdad es una igualdad para cíclico grupos de órdenes $1$, $2$ y $3$ y también el de Klein de cuatro grupos $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z_2}$. Creo que es razonable creer que ellos son los únicos grupos con esta propiedad. El factorial de $(|G| - 1)!$ finalmente es enorme. He buscado a través de los grupos de orden menor que $100$, con una BRECHA y no encontró otros ejemplos.

El problema puede reducirse a la abelian caso. Podemos comprobar que los grupos de orden $< 6$ a mano. Entonces si $|G| \geq 6$ y la igualdad se mantiene, tenemos $\operatorname{Aut}(G) \cong S_{|G|-1}$. Ahora $\operatorname{Inn}(G)$ es un subgrupo normal de $\operatorname{Aut(G)}$, y por lo tanto es isomorfo a $\{(1)\}$, $A_{|G|-1}$ o $S_{|G|-1}$. Esto es debido a que $A_n$ es la única adecuada trivial normal subgrupo de $S_n$ al $n \geq 5$. Podemos ver que $(|G| - 1)!/2 > |G|$ e lo $\operatorname{Inn}(G) \cong G/Z(G)$ es trivial.

Cómo probar que no existen otros grupos para los cuales la igualdad de $|\operatorname{Aut}(G)| = (|G| - 1)!$ se mantiene? Son mejores límites superiores conocido para grupos más grandes?

Answer 1

Incluso sin la clasificación de los finitos simples grupos, bastante razonable límites son conocidos, por ejemplo en el trabajo de P. M. Neumann. Si el grupo $G$ puede ser generado por $r$, pero no menos elementos, entonces no automorphism de $G$ puede arreglar el $r$ dado que los generadores, por lo que hay en la mayoría de las $\prod_{j=1}^{r} (|G|-j)$ diferentes automorfismos de a $G,$ desde el $r$ generadores deben tener distintas imágenes, ninguno de los cuales es el de la identidad. Como P. M. Neumann ha observado, $G$ puede siempre por generadas por ${\rm log}_{2}(|G|)$ o menos elementos, por lo que tenemos $r \leq \lfloor {\rm log}_{2}(|G|) \rfloor .$ $|G| >4,$ esto siempre da un sentido estrictamente mejor obligado para el tamaño de ${\rm Aut}(G)$ $(|G|-1)!.$ grandes $|G|,$ es mucho mejor. El uso de la clasificación de los finitos simples grupos, mucho mejor los límites son conocidos.

Más tarde edit: tal vez yo podría contorno de Neumann argumento, ya que es bastante elemental, y no recuerdo una referencia: Deje $\{x_1, x_2, \ldots, x_r \}$ ser un mínimo grupo electrógeno $G$ y deje $G_i = \langle x_1, x_2, \ldots, x_i \rangle $ $i >0,$ $G_{0} = \{ e \}.$ a Continuación, para $1 \leq i \leq r,$ tenemos $|G_i| > |G_{i-1}|$ por minimality de la generación del sistema. Además, $|G_i|$ es divisible por $|G_{i-1}|$ por Lagrange del teorema, por lo $|G_i| \geq 2|G_{i-1}|.$ por lo tanto $|G| = |G_r| \geq 2^r.$

Answer 2

Creo que he encontrado una solución diferente. Es esto correcto?

Supongamos que $G$ es un grupo y $|G| > 4$. Para demostrar que $|\operatorname{Aut}(G)| < (|G| - 1)!$, es suficiente para encontrar un bijection $f: G \rightarrow G$ $f(1) = 1$ que no es un automorphism.

Primero de todo, vamos a $a$ ser algunos nonidentity elemento de $G$. Deje $b \in G \backslash \{1, a, a^{-1}\}$$x \in G \backslash\{1,a,b, ab\}$. Definir el mapa de $f: G \rightarrow G$ por $f(ab) = x$, $f(x) = ab$ y $f(g) = g$ para el resto de los elementos en $G$. A continuación, $f$ es un bijection que corrige $1$, pero $f(ab) \neq f(a)f(b)$ porque $x \neq ab$.

Answer 3

Creo que este es un ejercicio de Wielandt la permutación de grupos de libro.

$\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}\Aut(G) \leq \Sym(G\setminus\{1\})$ si $|\Aut(G)|=(|G|-1)!$, $\Aut(G) = \Sym(G\setminus\{1\})$ actúa $|G|-1$-transitivamente sobre la no-identidad de los elementos de G. Esto significa que los elementos de G son indistinguibles. Heck, incluso subconjuntos del mismo tamaño (no contiene la identidad) son indistinguibles. Termino a continuación:

En particular, todos los no-identidad elemento de G tiene el mismo orden, py G no tiene adecuada, la no-identidad característica subgrupos, como $Z(G)$, por lo que G es un elemental abelian p-grupo. Sin embargo, la automorphism grupo es$\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\GL(n,p)$,$p \geq 3, n\geq 2$, sólo actúa en la mayoría de las $n-1$-transitivamente, ya que no se puede enviar una base para un no-base. Las soluciones de $p^n-1 \leq n-1, p \geq 3, n \geq 2$ son muy pocos: ninguno. Obviamente $\GL(1,p)$ orden $p-1$ lo cual es muy raro igual a $(p-1)!$, cuando $p=2, 3$. $\GL(n,2)$ todavía sólo puede actuar a $n$-transitivamente si $2^n-1 > n+1$, ya que una vez que una base de la imagen es especificado, el resto de los puntos se determinan, y las soluciones de $2^n-1 \leq n+1$ también son limitados: $n=1,2$. Así, los grupos cíclicos de orden 1,2,3 y el Klein cuatro grupo son los únicos ejemplos.

Answer 4

Bueno, para empezar, para lograr la igualdad necesitaría cada elemento tienen el mismo orden, y así que el orden es una de las principales (por lo que su grupo tiene la primera potencia de la orden).

Después debería darse cuenta de que si usted tiene la igualdad, a continuación, usted debe haber igualdad en $C_p$, el grupo cíclico de orden $p$, ya que debe existir un homomorphism que cambia cada elemento de a $\langle g\rangle$ donde $g$ es un elemento de orden $p$, y mantiene todos los otros elementos en el grupo fijo. Claramente esto no ocurrirá si $p=2$ o $p=3$.

Para $p=2$, aviso que no funciona para $C_2\times C_2\times C_2$, pero que a la observación en el párrafo anterior todavía debe mantener (que puede restringir a los subgrupos y aún así obtener una automorphism).

Para $p=3$, aviso que no funciona para $C_3\times C_3$, pero que a la observación en el párrafo anterior todavía debe mantener (que puede restringir a los subgrupos y aún así obtener una automorphism).