El análogo de euler ' Teorema de s $\mathbb{F}_p[x]$

Question

Deje $p$ ser un número primo, y $m(x)$$\mathbb{F}_p[x]$. el análogo de el teorema de euler es que, para ciertos polinomios $a(x)$$\mathbb{F}_p$, y algunos de número de $\phi_p(m)$,

$$a(x)^{\phi_p(m)} = 1\mod m(x)$$

para que los polinomios $a(x)$ hace de este teorema se aplica? ¿cuál es el número de $\phi_p(x)?$

mi solución, pero no estoy seguro si esto es correcto?

$\phi_p(m)$ es el totient función. da vuelta los números enteros menores o iguales a $m$ que son relativamente primos a $m$, este teorema se aplica para $a(x)$ polinomios que son coprimes con $m(x).$

Answer 1

Sugerencia: Teorema de Euler viene del hecho de que $\#(\mathbb{F}_p^\times)=p-1$. El minimality viene del hecho de que $\mathbb{F}_p^\times$ es cíclico, como es el grupo de unidad de cualquier campo finito. Ahora, supongamos que $m$ es irreducible. $k=\mathbb{F}[x]/(m(x))$ Es un campo. Además, es fácil ver que $\dim_{\mathbb{F}_p}k=\deg m$.

Answer 2

Obviamente el polinomio $a(x)$ tiene que ser coprime a $m(x)$ porque de lo contrario el factor común será siempre evitar esto. Si la factorización de $m(x)$ a potencias de polinomios irreducibles es $$ m(x)=\prod_i p_i(x)^{a_i}, $$ entonces por el teorema del resto Chino $$ \mathbb{F_p}[x]/(m(x))\simeq\bigoplus_i\mathbb{F_p}[x]/(p_i(x)^{a_i}). $$ Denotar $R_i=\mathbb{F_p}[x]/(p_i(x)^{a_i}).$ El coset de $a(x)$ es una unidad de $R_i$$p_i(x)\nmid a(x)$. Puede usted contar el tamaño del grupo de la unidad de $R_i$? Si usted sabe que $|R_i^*|=n_i$, entonces del teorema de Lagrange dice que $$ a(x)^{n_i}\equiv 1\pmod{p_i(x)^{a_i}}. $$ Para el resto se espera para imitar el entero caso y aplicar el teorema del resto Chino hacia atrás.

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En algunos casos, es posible sustituir el número de $n_i$ por su divisor. Esto es debido a que el grupo $R_i^*$ no es siempre cíclico, y, por tanto, su exponente es estrictamente menor que su cardinalidad. Considere el siguiente. Como se explica en Alex Youcis respuesta, cuando $a_i=1$, $R_i$ es un campo finito, y por lo tanto $R_i^*$ es cíclico de orden $q-1, q=|\mathbb{F_p}[x]/(p_i(x)|=p^{\deg p_i(x)}$. Así que siempre tenemos la congruencia $$ a(x)^{p-1}\equiv1 \pmod {p_i(x)}, $$ y por lo tanto $a(x)^{q-1}\equiv 1+p_i(x) b(x)\pmod {p_i(x)^2}$ para algunos polinomio $b(x)$. La recaudación de este congruencia a $p^{th}$ poder da luego de que $$ a(x)^{p(q-1)}\equiv1\pmod {p_i(x)^2} $$ aunque $|\mathbb{F_p}[x]/(p_i(x)^2)^*|=q(q-1)>p(q-1)$ siempre $\deg p_i>1$. Esto muestra que para $R_i^*$ a ser cíclica al $a_i>1$, es necesario que el $\deg p_i=1$. No sería demasiado difícil para analizar la estructura de $R_i^*$ más, pero en este punto el lector puede ojala ya apreciar que el exponente de a $R_i$ depende de los parámetros $\deg p_i$, $p$, y $a_i$ en no trivial de la forma.