¿Por qué es $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ ¿Isomorfo a los números complejos del módulo uno?

Question

Wikipedia afirma que el grupo cociente $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es isomorfo a todos los números complejos del módulo $1$ . Me resulta difícil encontrarle sentido a esto, y en particular, a cómo entran en juego los números complejos. Lo que pido, si es posible, es una respuesta intuitiva. Dar un homomorfismo biyectivo no se considera una respuesta suficiente a menos que una explicación intuitiva resulte difícil.

Answer 1

$\mathbb R/\mathbb Z$ identifica cada punto de la recta real con un único punto del intervalo $[0,1)$ . Podemos estirar este intervalo por un factor de $2\pi$ y envolverlo alrededor de la circunferencia del círculo unitario en el plano complejo.

Porque el número real $1$ mapas a $0$ en el intervalo $[0,1)$ encontramos que la unión de los extremos funciona, y cada número real se puede identificar con un número de circuitos del círculo unitario.

Es como tratar toda la línea real como un trozo de elástico y envolverla alrededor del círculo unitario para que todos los enteros acaben en el mismo sitio.

Answer 2

Porque el homomorfismo $$ \varphi\colon\mathbb{R}\to \mathbb{C}\setminus\{0\} $$ (el dominio es un grupo con respecto a la suma, el codominio con respecto a la multiplicación) definido por $$ \varphi(t)=\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t) $$ tiene como imagen el círculo unitario y $\mathbb{Z}$ como su núcleo.

Answer 3

Sugerencia : $x \rightarrow e^{ix}$

Answer 4

Para hacerlo realmente intuitivo: Al dividir nuestro $\mathbb Z$ , usted identifica $0$ con $1$ 8y $2$ y $-42$ y ..., así como identificar $0.1$ con $1.1$ adn ...). Si se quiere hacer físicamente esta identificación con la línea de los números reales, representada intuitivamente por un hilo de longitud infinita, hay que enrollarlo en sí mismo como una bobina y -por identificación- producir un círculo. El mismo círculo unti que encontramos en el plano ocmplejo. Sin embargo, este explicación intuitiva puede ser intuitivo pero no creo que sea una explicación (que viene dada por las propiedades de la función exponencial, es decir, cualquier solución de $f'(z)=f(z)$ con $f(0)=1$ es necesariamente un homomorfismo de grupo de la suma a la multiplicación, y es periódico).

Answer 5

Tenga en cuenta que $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es igual al intervalo unitario $[0,1]$ donde la clase de equivalencia de cero y uno son iguales. Esto puede interpretarse como la adhesión de la $0$ y $1$ juntos, en cuyo caso se obtiene un círculo. Ahora trata de encontrar el homomorfismo, utilizando la pista de GA316.