¿Simbólicamente es la solución $a(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$, % dado $a$, cada vez más fácil que integrar $a$?

Question

Si se nos da una función de $x$, $a(x)$, lo difícil es encontrar un $f(x)$ y $g(x)$ tal que $$a(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$% $ de a(x) de $ For comparison, I'd like to know when this is easier than symbolically or numerically integrating $.

Me gustaría saber, si es posible, qué condiciones generales nos permiten encontrar eficientemente $f(x)$ y $g(x)$. Espero que esto no es una pregunta demasiado general. Además, me gustaría saber los métodos que nos permiten hacerlo.

Answer 1

Supongamos que $a(x)=x^2\cos x + 2x\sin x$.

Reconociendo que como $f'(x)g(x)+ f(x)g'(x)$% #%, #% y $f(x)= \sin x$, parece ser la forma más rápida de encontrar la primitiva de la expresión entera.

Answer 2

No es esta justa integración por las piezas. Donde

$$ \int a(x)\,{\rm d}x = f(x)g(x)= \int \frac{{\rm d}f(x) g(x)}{{\rm d}x}\,{\rm d}x = \int f(x)g'(x) \,{\rm d}x +\int f'(x)g(x) \,{\rm d}x $$ $$ = \int f(x) \,{\rm d}g +\int g(x) \,{\rm d}f $$

o

$$ \int u \;{\rm d}v = u\, v - \int v \;{\rm d}u $$