¿Cuándo engañan los gráficos?

Question

¿Cuáles son algunos ejemplos de funciones o cantidades relacionadas con las funciones (por ejemplo, los límites) $f:A \to B$ donde $A$ , $B \subseteq \mathbb{R}$ que requieren métodos "analíticos" a mano para el análisis que aparentemente se contradice con un gráfico generado por el software ?

Por ejemplo, recuerdo que un texto de precálculo decía que $\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x^{6}}{x^{12}} = \dfrac{1}{2}$ (que, si no recuerdo mal, se demuestra utilizando series de Taylor) pero el propio gráfico parece sugerir que tal vez no existe, debido a las oscilaciones que se producen en torno a 0. [Los gráficos se generaron a través de WolframAlpha].

Answer 1

Pruebe la función $$f(x) = x^2e^{2x}\left(\log(e^x+1/x)-\sqrt{x^2+2e^{-x}}\right).$$ Jugar con la serie Taylor demuestra que $\lim_{x\to\infty}f(x)=-\frac12$ pero el trazado de la función para $x\in[1,50]$ no tiene remedio. Mira cómo lo traza Wolfram|Alpha. La razón es que hay que calcular numéricamente la diferencia de dos números muy grandes pero casi iguales y luego multiplicar la diferencia por un número enorme. El trazado en un intervalo adecuado (dependiendo del software) hace que la convergencia sea $-\frac12$ plausible, pero no pude convencerme de que debía existir un límite viendo la parte buena de la trama.

Para derivar el límite, se necesita el polinomio de Taylor de segundo orden de $\log(1+t)$ y la de primer orden de $\sqrt{1+s}$ (con $t=e^{-x}/x$ y $s=2e^{-x}/x^2$ ) y las estimaciones de los errores. Las "expansiones de primer orden" de $\log(e^x+1/x)$ y $\sqrt{x^2+2e^{-x}}$ están de acuerdo en que los grandes $x$ , lo que sugiere correctamente que calcular la diferencia numéricamente es muy inestable.

Si quieres estudiar funciones cercanas a cero, prueba a trazar $f(1/x)$ o $f(1/x^2)$ en su lugar.

Answer 2

Casi cualquier ejemplo de cancelación catastrófica más un zoom suficiente servirá. Dos casos:

Una simplificación de tu ejemplo (función más sencilla, zoom más grande):

$$\frac{(1-\cos(x^2))}{x^4},\qquad x\in[-0.001,0.001]$$

Una función racional con una discontinuidad removible: $$\frac{x^{50}-1}{x-1},\qquad x\in[0.999999999,1.000000001]$$

Answer 3

Un ejemplo clásico es $$\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$$