¿Agregar y eliminar porcentajes no compuestos no produce el mismo resultado?

Question

Si tomo el valor 100 y quiero añadirle un impuesto del 10% y luego un impuesto del 7%, estoy haciendo lo siguiente:

$$\begin{align*} 100 \times \left(1 + \frac{10}{100}\right) &= 110\\ 100 \times \left(1 + \frac{7}{100}\right) &= 107\\ 100 + 10 + 7 &= 117. \end{align*}$$

Si elimino el 10% y luego el 7% de 117, no obtengo 100, obtengo 98.7094.... Mi fórmula está configurada de la siguiente manera:

TotalGeneral = 117

TotalAjustado = TotalGeneral

Valor = TotalGeneral - (TotalGeneral/(1 + (porcentaje/100))

TotalAjustado = TotalAjustado - Valor

Si estoy haciendo más de un porcentaje, me encuentro con problemas como el 10% y el 7%.

¿Estoy complicando demasiado esto y qué estoy haciendo mal? Básicamente, quiero tomar un valor, añadir impuestos y luego eliminar los mismos impuestos para recuperar mi valor original.

He agregado una pregunta sobre esto en stackoverflow aquí, pero estoy atascado en la programación de la parte no compuesta y en la mezcla de ambos.

Answer 1

Comencemos primero con un ejemplo más simple. Si aumentas 400 en un 25% obtienes 500. Si reduces 500 en un 25% obtienes 375. Con ecuaciones esto es $$400 \times (1+ 0.25) = 500$$ $$500 \times (1- 0.25) = 375$$ así que está claro que esta multiplicación no funciona, y no deberíamos esperar que funcione ya que $(1+ 0.25) \times (1- 0.25) = 0.9375$ no es $1$. Por lo tanto, para deshacer el aumento (de 400 a 500), en cambio deberíamos dividir de la siguiente manera: $$500 \div (1+ 0.25) = 400$$ y dado que $1 \div (1+ 0.25) = (1 - 0.20)$, tendríamos $$500 \times (1 - 0.20) = 400$$ así que un aumento del 25% debe ser deshecho por una disminución del 20%. Parece que entiendes esto en tu ecuación para el valor.

El segundo problema es tu falta de capitalizar los impuestos. Si lo capitalizaras, entonces es correcto que $$100 \times (1 + 0.10) \times (1 + 0.07) = 117.70$$ y lo desharías con $$117.70 \div (1 + 0.10) \div (1 + 0.07) = 100$$ pero eso no funciona aquí.

Así que en lugar de eso comienzas con $$100 \times (1 +0.10 + 0.07) = 117$$ y para deshacerlo haces $$117 \div (1 +0.10 + 0.07) = 100$$

Answer 2

Esencialmente, has calculado tu valor después de impuestos usando la fórmula $$\array{T &=& P + (0.10)P + (0.07)P\\&=& (1.17)P}$$ donde T es el precio después de impuestos, y P es el precio antes de impuestos.

Si quieres volver a P desde T, simplemente resuelve para P en la ecuación anterior para obtener $$P = \frac{T}{1.17}$$

Answer 3

Mira un problema más simple. Agrega un 50% a 100. Obtienes 150. Ahora resta un 50%. Obtienes 75. Siempre que sumas o restas un porcentaje, el valor que sumas o restas siempre depende del valor que estás ajustando. Una vez que has agregado tu porcentaje, entonces tu valor total es mayor que cuando empezaste, así que si intentas restar el mismo porcentaje, estarás restando más de lo que agregaste.

Answer 4

Si primero agregas un porcentaje, digamos 10%, y luego restas el 10% de ese total, no volverás a la cantidad original.

Supongamos que empieces con 100; agregar un 10% te da 100 + 10 = 110. Restar un 10% de eso te da 110-11 = 99, menos de lo que empezaste.

(Por eso, si primero te reducen el salario un 10%, y luego te aumentan un 10%, no vuelves al punto de partida).

Esto se debe a que agregar un 10% es lo mismo que multiplicar por $1 + \frac{10}{100}$. Restar un 10% es lo mismo que multiplicar por $1 - \frac{10}{100}$. Pero $$\left(1 + \frac{10}{100}\right)\times\left(1 - \frac{10}{100}\right) = 1 - \frac{100}{10000} = 1 - \frac{1}{100} \neq 1.$$

Ciertamente no puedes "cancelar" la adición de un porcentaje simplemente restando ese porcentaje más tarde. (Sin embargo, nota que el resultado de primero agregar r% y luego restar s% es lo mismo que primero restar s% y luego agregar r%; simplemente no es lo mismo que agregar (r-s)%).

En tu caso, estás tratando de agregar un 17% y luego restar un 17%. Esto significa $$\left(100\times\left(1 +\frac{17}{100}\right)\right)\times\left(1 - \frac{17}{100}\right) = 100\times\left(1 - \frac{289}{10000}\right).$$ En general, si primero agregas r% y luego restas r% del total, terminarás por debajo de tu cantidad original en r% de r%, porque estás haciendo $$X\times\left( 1 + \frac{r}{100}\right)\left(1 - \frac{r}{100}\right) = X \times\left( 1 - \left(\frac{r}{100}\right)^2\right).$$

En mi primer ejemplo, fue un 10% de un 10%, que es 1%, por lo tanto 99 en lugar de 100. Aquí, es un 17% de un 17%, que es aproximadamente 2.89%, por lo tanto terminas en 97.11, o un 2.89% menos que 100.