Forma explícita para los coeficientes de la función secante hiperbólica extendido

Question

Considere la función: $$\frac{3}{e^x+e^{{w_3}x}+e^{{w_3^2}x}}=\sum_{n=0}^\infty{E_{3,n}\frac{x^n}{n!}}$$ Tenga en cuenta que $w_3=e^{\frac{2i\pi}{3}}$ Estoy tratando de obtener una fórmula explícita para la $E_{3,i}$. Así que trato y de reescritura de la LHS: $$\frac{3}{e^x+e^{{w_3}x}+e^{{w_3^2}x}}=\frac{3e^{-x}}{1-\left[-e^{(w_3-1)x}-e^{(w_3^2-1)x}\right]}$$ $$=3e^{-x}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\left[e^{(w_3-1)x}+e^{(w_3^2-1)x}\right]^n$$ $$=3e^{-x}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\left\{e^{(w_3-1)x}\left[1+e^{(w_3^2-w_3)x}\right]\right\}^n$$ $$=3e^{-x}\sum_{n=0}^\infty(-1)^ne^{(w_3-1)nx}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}e^{(w_3^2-w_3)kx}$$ $$=3\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}(-1)^ne^{[(w_3-1)n+(w_3^2-w_3)k-1]x}$$ $$=3\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty\binom{n}{k}(-1)^n[(w_3-1)n+(w_3^2-w_3)k-1]^j\frac{x^j}{j!}$$

Es aquí me confundo cómo terminar. ¿Cómo puedo obtener más simple y finalizar así que puedo extraer el coeficiente y obtener mi fórmula?

EDITAR:

Es mejor acercarse a este? Considerar el Coeficiente de extracción:

$$E_{3,n}=n![x^n]\frac{3e^{-x}}{1-\left[-e^{(w_3-1)x}-e^{(w_3^2-1)x}\right]}$$ $$=n![x^n]3e^{-x}\sum_{r=0}^n(-1)^r\left[e^{(w_3-1)x}+e^{(w_3^2-1)x}\right]^r$$ $$...$$ $$=n![x^n]3\sum_{r=0}^n\sum_{k=0}^r\binom{r}{k}(-1)^re^{[(w_3-1)r+(w_3^2-w_3)k-1]x}$$ $$=n![x^n]3\sum_{r=0}^n\sum_{k=0}^r\sum_{j=0}^\infty\binom{r}{k}(-1)^r[(w_3-1)r+(w_3^2-w_3)k-1]^j\frac{x^j}{j!}$$ Y desde que me"m teniendo en cuenta el $n$-ésimo coeficiente, entonces necesito el caso al $j=n$? $$3\sum_{r=0}^n\sum_{k=0}^r\binom{r}{k}(-1)^r[(w_3-1)r+(w_3^2-w_3)k-1]^n$$ Entonces puedo simplificar al menos una de las expresiones en el trinomio anteriormente, ya que el $w_3^2-w_3=-i\sqrt{3}$. Así $$E_{3,n}=\sum_{r=0}^n\sum_{k=0}^r\binom{r}{k}(-3)^r[(w_3-1)r-i\sqrt{3}k-1]^n$$

Sé que esta no es la respuesta correcta porque yo he puesto la fórmula en Mathematica y no estoy recibiendo la correcta coeficientes. Los coeficientes son: $$1,0,0,-1,0,0,19,...$$

Answer 1

Echa un vistazo a esta suma: $e^x+e^{{w_3}x}+e^{{w_3^2}x}$. Por la propiedad de $w_3$ puede calcular fácilmente la serie de energía. Por lo que tiene: %#% $ de #% nos podemos calcular esto usando la serie geométrica fórmula $$\frac{3}{e^x+e^{{w_3}x}+e^{{w_3^2}x}} = \frac{1}{\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{3n}}{(3n)!}} = \frac{1}{1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3n}}{(3n)!}}$ $ es claro que el sólo $$\frac{1}{1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3n}}{(3n)!}} = 1 + (-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3n}}{(3n)!}) + (-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3n}}{(3n)!})^2 + (-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{3n}}{(3n)!})^3 + \cdots $ debe tener $E_{3,n}$ un múltiplo de tres. Por otra parte: $n$ $ que es lo que te puse con Mathematica.

Espero que esta ayuda, o al menos le enseña a repetir su resultado de Mathematica.

Answer 2

Aquí hay algunos consejos que podrían ser útiles.

La composición del poder formal de la serie

Vamos a considerar la siguiente parte de la OPs cálculo

\begin{align*} \frac{1}{1-\left[-e^{(w_3-1)x}-e^{(w_3^2-1)x}\right]}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \left[e^{(w_3-1)x}+e^{(w_3^2-1)x}\right]^n\tag{1} \end{align*}

Esta representación es no válido cuando se considera el anillo de poder formal de la serie. La expresión anterior es, de hecho, la composición de la alimentación de la serie

\begin{align*} G(x)=\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n \end{align*} con \begin{align*} F(x)=-\left[e^{(w_3-1)x}+e^{(w_3^2-1)x}\right] \end{align*}

Tenga en cuenta, que una composición

\begin{align*} G(F(x))=\sum_{n=0}^{\infty}\left(F(x)\right)^n \end{align*} sólo es válida, iff $F(0)=0$. Si $F$ no tiene término constante es seguro, que un número finito de sumandos se utiliza como contribución para los coeficientes de las potencias de $x$. (También puede buscar en esta sección de la página de la Wiki.)

Desde $F(x)=-e^{(w_3-1)x}-e^{(w_3^2-1)x}=-2+\cdots$ tiene un término constante $-2\neq 0$, no cumple con este requisito y la representación (1) no es válido.

Observar, que en el otro lado de la correcta representación proporcionada en la respuesta de @amcalde

\begin{align*} \frac{1}{1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}} =\sum_{t=0}^{\infty}\left(-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}\right)^t\tag{2} \end{align*}

es válida la composición de poder formal de la serie de $G(x)=\frac{1}{1+x}$$H(x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}$$H(0)=0$.

Cálculo de los recíprocos de potencia de la serie

El papel Composita y sus propiedades V. V. Kruchinin y D. V. Kruchinin presenta en la sección 5 técnicas para obtener los coeficientes de los recíprocos de poder formal de la serie. Con el fin de obtener un válido composición de potencia de la serie de los autores consideran que también se $xF(x)$ en lugar de $F(x)$.

Pero tenga en cuenta que no es fácil encontrar simples representaciones. Antes de intentar obtener los coeficientes de la reciprocidad de las más complejas de expresión \begin{align*} e^x+e^{{w_3}x}+e^{{w_3^2}x} \end{align*} usted podría tratar de comenzar con la expresión más fácil \begin{align*} e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \end{align*} Aquí sabemos que la solución $e^{-x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}$ y podemos ver mejor, cómo Kruchinins enfoque podría aplicarse.

OEIS: A002115

El uso de la representación (2) para obtener los coeficientes de los pequeños poderes de $x$ tenemos \begin{align*} \frac{1}{1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3n}}{(3n)!}}=1-\frac{x^3}{3!}+\frac{19x^6}{6!}-\frac{1513x^9}{9!}+\cdots \end{align*} Podemos encontrar esta secuencia en OEIS como A002115.

Ya no es la simple representación de los coeficientes de la serie indicada, esto podría indicar que no hay nadie disponible.