¿Es correcta mi prueba? $2^n=x^2+23$ tiene un número infinito de soluciones (enteras).

Question

Así es como intenté probarlo. ¿Es correcto? ¡Gracias!

$2^n = x^2+23$

$x^2$ debe ser impar, por lo tanto $x^2 = 4k+1$ , donde $k \in \mathbb{N}$ .

$2^n=4k+24$

$k=2(2^{n-3}-3)$

Desde $x^2=4k+1$ , $ \ \ \ \ $ $k_1 = \frac{x_1^2-1}{4}$

y $k_2=\frac{(x_1+2)^2-1}{4}=\frac{x_1^2+4x_1+3}{4}$

Si sustituimos $x_1^2=4k_1 + 1$ terminamos con..:

$k_2=k_1 + \sqrt{4k_1+1} + 1$

Por lo tanto, encontrar soluciones de $k=2(2^{n-3} - 3)$ es comparable a

encontrar las soluciones de $k+\sqrt{4k+1}+1=2(2^{n-3}-3)$

Dejemos que $p=2(2^{n-3}-3)$

Por lo tanto, $(\sqrt{4k+1})^2=(p-k-1)^2$ Así que

$(p-k)^2 = 2(p+k)$

Desde $p$ tiene un número infinito de soluciones $(p-k)^2=2(p+k)$ también tiene un número infinito de soluciones, lo que implica que el original también lo tiene.

Answer 1

Sólo hay un número finito de soluciones. La conjetura de Pillai es exagerada porque permite todos los exponentes posibles simultáneamente, mientras que las soluciones de $2^n = x^2 + 23$ debe estar en una de las tres curvas $y^3 = x^2+23$ , $2y^3 = x^2+23$ , $4y^3= x^2+23$ cada uno de los cuales tiene un número finito de puntos enteros.

Answer 2

Me sale $x=\pm 3$ y $x = \pm 45$ y eso es todo. Es probable que el conjunto de soluciones sea finito, véase LA CONJETURA DE PILLAI Hay una buena descripción de cómo se escribiría la conjetura de Pillai por parte de @ShreevatsR en el comentario de abajo:

que "para números enteros positivos fijos A,B,C la ecuación $Ax^nBy^m=C$ tiene sólo tiene un número finito de soluciones $(x,y,m,n)$ con $(m,n) \neq (2,2).$ " Aquí con $(A,B,C)=(1,1,23)$ dice que $x^ny^m=23$ tiene un número finito de soluciones muchas soluciones enteras $(x,y,m,n).$ La afirmación de la OP es que tiene infinitas soluciones enteras de la forma $(2,x,2,n).$ Esto es probablemente falso

Mientras tanto, puedo describir cómo agotar rápidamente las posibles soluciones, con mis métodos. Sabemos que $n$ debe ser impar en $x^2 - 2^n = -23.$ Así que, toma $n= 2t+1$ y hacer una nueva variable, $y= 2^t.$ El resultado es $$ x^2 - 2 y^2 = -23. $$ Los valores de las semillas son $(x,y) = (3,4)$ y $(x,y) = (-3,4).$ Queremos que todas las soluciones sean tales que $y$ resulta ser una potencia de 2. Ahora, dada una solución $(x,y),$ obtenemos todas las soluciones posibles tomando repetidamente el resultado de aplicar un elemento del grupo de automorfismo/grupo de isometría/grupo ortogonal de $x^2 - 2 y^2,$ a saber: $$ (3x-4y,-2x+3y). $$

Ahora, $y=4$ es una potencia de 2, así que es un comienzo, con $x=\pm 3$

La primera cadena es $$ (3,4), (-7,6), (-45,32),(-263,186),(-1533,1084),(-8935,6318), \ldots $$ Así que este da $$ (x = \pm 3, y = 4), \; \; \; (x = \pm 45, y = 32) $$ como éxitos

La otra cadena es $$ (-3,4),(-25,18),(-147,104), (-857,606),(-4995,3532),(-29113,20586), \ldots $$

Así que puedes ver cómo me volví escéptico de que hubiera más soluciones con $y$ una potencia de 2.

Tenga en cuenta que Erick Wong ha señalado una prueba como una simple aplicación de las curvas elípticas.

Mientras tanto, ahora estoy despierto, ver KATY PERRY .

Answer 3

Esto me parece mal.

Pasaste de $k_1 = \frac{x_1^2-1}{4}$ a $x_1^2 = 4 k_1^2+1$ . De alguna manera el $k_1$ se ha cuadrado.

Esta no es una prueba correcta.

Además, tener que descargar esa imagen tan grande es un dolor.

Por favor, aprenda a introducir las matemáticas en $\LaTeX$ .

Answer 4

Se puede ver por medios elementales que el número de soluciones es finito. Entonces sólo tenemos que encontrar las posibles soluciones. Primero doy una heurística.
Consideremos la primefactorización de alguna expresión $$f(b,n) = b^n - 1 = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5 ^{e_5} \cdots =\prod_{q \in \mathbb P} q^{e_q} $$ entonces sabemos por Fermat/Euler, que la ocurrencia de los primofactores $q$ ciclos cuando $b$ es fijo y $n$ está aumentando. Para explicitar el valor real de los exponentes me he acostumbrado a la siguiente notación:
Introduzcamos las notaciones

• $[n:p]$ significa $[n:p]=1$ si p divide a n, y $[n:p]=0$ si no
• $\{n,p\}$ que significa el mayor exponente, al que $p$ se produce en $n$

entonces cualquier factor primario $q$ (donde por supuesto $[b:q]=0$ se supone) se producen en $f(b,n)$ en un mínimo $n=\kappa_q$ por primera vez y luego cíclicamente con una longitud de ciclo $\lambda_q$ . Aquí la "primera vez" y la longitud del ciclo son idénticas, veremos en el siguiente paso, donde usamos esto para nuestro problema real, que serán diferentes - pero esto no estropea el poder de la lógica de los argumentos.

Además, denotamos el exponente, al que el factor primario $q$ se produce en $f(b,\kappa)$ como $\alpha$ tal que

• $ \{f(b,\kappa),q\}=\alpha_q$

obteniendo ahora por ejemplo para el primefactor $q=2$
$$ f(b,n) = b^n - 1 = 2^{e_2} \cdot r $$ $\qquad \qquad $ (donde $r$ es un posible resto)

y $$ e_2 = [n:\lambda_2](\alpha_2 + \{n,2\} ) $$ Podemos entonces reescribir la expresión completa $$f(b,n) =\prod_{q \in \mathbb P \\\ [b:q]=0} q^{ [n:\lambda_q](\alpha_q + \{n,q\})} $$

La observación clave es aquí la "valoración-brazo" en el exponente, $$e_q = \ldots \{n,q \}$$ varía con n por lo que la multiplicidad de algún factor primario en $b^n-1$ se produce en la misma variación que en $n$ sólo, por lo que aproximadamente $q^{e_q}$ crece con $n$ y no con $b^n$ . La consecuencia de esto es, entonces, que el aumento de $n$ requiere más y más factores primarios adicionales y después de una primera solución, donde $b^n-1$ puede tener sólo el único factor principal $q$ (a algún poder) esto no volverá a ocurrir cuando $n$ aumenta. (Esto también podría estar relacionado con el teorema de Szygmondi (¿correcta ortografía?).

Ahora volvemos a nuestra pregunta original.
Podemos replantear la misma función, sólo que arreglando $n=2$ y que $b$ variar y utilizar otra constante, por lo que tenemos $$ g(x,2) = x^2 + 23 = 2^{e_2} \cdot 3^{e_3} \cdot 5^{e_5} \cdots = \prod_{q \in \mathbb P} q^{e_q} $$
Los argumentos sobre la ciclicidad y el nivel de los exponentes de los factores primarios $q$ son esencialmente las mismas, sólo que tenemos, que en general $\kappa \ne \lambda$ y también tienen $2$ ciclos disjuntos. Su pregunta se refiere al factor primario $q=2$ sólo, por lo que podemos mirar el nivel de sus exponentes de forma heurística. Obtenemos para los primeros $x$ la siguiente tabla, donde se hace en $4$ columnas, cada una de ellas compuesta por $g=g(x,2)$ y $e_2 =\{ g(x,2),2 \} $ para ver los dos "ciclos". Leemos la tabla en sentido de la marcha de izquierda a derecha y luego hacia abajo para $x=1,2,3,4,5,...$ : $$ \small \small \begin{array} {rr|rr|rr|rr} g & e_2 &g & e_2 &g & e_2 &g & e_2 &\\ \hline 24 & 3 & 27 & 0 & 32 & 5 & 39 & 0 \\ 48 & 4 & 59 & 0 & 72 & 3 & 87 & 0 \\ 104 & 3 & 123 & 0 & 144 & 4 & 167 & 0 \\ 192 & 6 & 219 & 0 & 248 & 3 & 279 & 0 \\ 312 & 3 & 347 & 0 & 384 & 7 & 423 & 0 \\ 464 & 4 & 507 & 0 & 552 & 3 & 599 & 0 \\ 648 & 3 & 699 & 0 & 752 & 4 & 807 & 0 \\ 864 & 5 & 923 & 0 & 984 & 3 & 1047 & 0 \\ 1112 & 3 & 1179 & 0 & 1248 & 5 & 1319 & 0 \\ 1392 & 4 & 1467 & 0 & 1544 & 3 & 1623 & 0 \\ 1704 & 3 & 1787 & 0 & 1872 & 4 & 1959 & 0 \\ 2048 & 11 & 2139 & 0 & 2232 & 3 & 2327 & 0 \\ \ldots \end{array} $$ Aunque la parte izquierda de cada columna aumenta dominada por el término cuadrático de g $ x^2 $ la parte derecha, que contiene el exponente del factor primario $2$ sólo sigue la pauta que es idéntica a la del aumento de $ x^1 $ sólo. También podemos identificar los desplazamientos; después de encontrar el exponente alto $e_2=11$ y ver también, que esto consume todo el número $g=2048$ (que se produce en $x=45$ ) y constituyen así una solución para su pregunta los exponentes anterior y siguiente varían como si $g$ sólo crecería linealmente en pasos de $8$ (= $2^3$ ) y por lo tanto $g(x,2)$ necesita más factores primarios además de $2^{e_2}$ para multiplicar hasta su valor real, salvo ese número finito de excepciones (posibles) (como máximo 2 porque una parábola y una recta pueden encontrarse como máximo 2 veces).

Lo mismo ocurre con la tercera columna; aquí tenemos una solución para $g(x,2)=32$ donde $e_2=5$ y no se necesita ningún otro factor primario (lo que significa que realmente $x=3$ ) , pero de nuevo el crecimiento de los valores g en la columna está dominado por su término cuadrático $x^2$ mientras que los exponentes del factor primario $2$ crecen sólo según el término lineal $x$ además del desplazamiento y el escalado del paso a $8=2^3$ .

Esto es hasta ahora una heurística/observación. Todavía no puedo hacer la prueba formal para la finitud del número de soluciones; si es posible la adjuntaré aquí - tal vez esta es también la línea de argumentos de Pillai que fue enlazada en la respuesta de Will @Jagy.

Answer 5

Aquí hay otro argumento heurístico en la línea probabilística de que hay un número finito de soluciones.

La distancia entre cuadrados perfectos cerca de $n$ es aproximadamente $2\sqrt{n}$ . Por lo tanto, la probabilidad de un número entero dado $n$ para ser un cuadrado perfecto es aproximadamente $\frac1{2\sqrt{n}}$ . Sumando la probabilidad de que $2^n-23$ es un cuadrado perfecto da $$ \begin{align} \sum_{n=5}^\infty\frac1{2\sqrt{2^n-23}} &\le\frac16+\sum_{n=6}^\infty\frac1{2\sqrt{2^{n-1}}}\\ &=\frac16+\frac{\sqrt2+1}8 \end{align} $$ Según el Lema de Borel-Cantelli esto indica que la probabilidad de que haya mny soluciones finitas es $1$ .

Por supuesto, esto realmente no prueba nada, porque el mismo argumento sugiere que hay finitamente muchos cuadrados perfectos de la forma $2^n$ cuando en realidad $2^n$ es un cuadrado perfecto siempre que $n$ está en paz. Sin embargo, a falta de pruebas de lo contrario, esto proporciona una conjetura decente.